1.Giải pt : \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2019
\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+2\sqrt{\frac{y^2}{y^2}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\frac{1}{x^2}\\y^2=\frac{1}{y^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm1\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt đầu thì chỉ \(x=y=1\) phù hợp
10 tháng 6 2019
Điều kiện xác định: \(x\ne-1;y\ne1\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{x+1}+\frac{y^2}{y-1}=4\left(1\right)\\\frac{x+2}{x+1}+\frac{y-2}{y-1}=y-x\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ pt (2), ta có: \(\frac{x+2}{x+1}+\frac{y-2}{y-1}=y-x\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y-1}-y+x=0\)
\(\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{x+1}-\left(y-1+\frac{1}{y-1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{x+1}=y-1+\frac{1}{y-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{y^2-2y+2}{y-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+1}+\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}=\frac{y^2}{y+1}-\frac{2\left(y-1\right)}{y-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+1}+2=\frac{y^2}{y-1}-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+1}+4-\frac{y^2}{y-1}=0\)(*)
Thay (1) vào (*), ta được: \(\frac{x^2}{x+1}+\frac{x^2}{x+1}+\frac{y^2}{y-1}-\frac{y^2}{y-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2}{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)
Thay x = 0 vào pt (1), ta được: \(\frac{y^2}{y-1}=4\) \(\Leftrightarrow\left(y-2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow y=2\left(tm\right)\)
Vậy: Hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: \(\left(0;2\right)\)
=.= hk tốt!!
NT
1
14 tháng 12 2015
\(\int^{1+\frac{4}{x-1}-\frac{3}{y-1}=2}_{\frac{4}{x-1}+\frac{2}{y-1}=6}\Leftrightarrow\int^{\frac{1}{y-1}=1}_{\frac{1}{x-1}=1}\Leftrightarrow x=y=2\)
( đặt ẩn phụ cho dẽ làm nhá)
Bạn viết sai dấu y+1 = y-1 ( theo bạn nhẩm 2;2)
13 tháng 7 2019
câu a) sáng giải
b) \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8>4\) vô nghiệm
14 tháng 7 2019
a) ĐK: \(x,y\ne-1\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(1\right)\\\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=1\) (3)
(2) \(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\right)^2-\frac{2xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(2xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Lại có: \(\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2\ge2\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\right)^2}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y+1}=\frac{y}{x+1}\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{2x}{y+1}=1\\2\left(\frac{x}{y+1}\right)^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+1}\right)^2-\frac{x}{y+1}=0\Leftrightarrow\frac{x}{y+1}\left(\frac{x}{y+1}-1\right)=0}\)
\(\Rightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y+1}=0\\\frac{x}{y+1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=y+1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y+1}\)
Thay x=y+1 vào (3) ta được: \(\frac{y}{x+1}=0\)\(\Leftrightarrow\)\(y=0\)\(\Rightarrow\)\(x=1\) ( tương tự với y ta cũng được x=0;y=1 )
tập nghiệm của pt \(\left(x,y\right)=\left\{\left(0;1\right),\left(1;0\right)\right\}\)
b) ĐK: \(x,y\ne0\) còn cách khác là dùng cosi nhé, VD: \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4\left(1\right)\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)
lấy (1) + (2) và cộng 2 vào 2 vế của pt mới ta được:
\(10=a^2+1+b^2+1+\left(a+b\right)\ge2\sqrt{a^2}+2\sqrt{a^2}+4=12\)
\(\Rightarrow\)\(10\ge12\) (vô lí) => hpt vô nghiệm
\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)
\(\Rightarrow\left(x-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=1=-1\)
Forever Miss You : có cách này nhanh hơn =))
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}\ge2.\sqrt{\frac{x^2.1}{x^2}}+2.\sqrt{\frac{y^2.1}{y^2}}=2+2=4\)
Mà \(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\frac{1}{x^2}\\y^2=\frac{1}{y^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=1\\y^4=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)
Vậy \(\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)