Question

[Nguyễn Tùng]

1,Giải hệ \(\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20\end{cases}}\)

2,Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1\)

Tìm \(P_{min}=\frac{a^6}{a^3+b^3}+\frac{b^6}{b^3+c^3}+\frac{c^6}{c^3+a^3}\)

Answer 1

[Incursion_03]

\(1,\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\left(1\right)\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) : \(10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\)

\(\Leftrightarrow10x^2-2x\left(y+19\right)+5y^2-6y+41=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x

Có \(\Delta'=\left(y+19\right)^2-50y^2+60y-410\)

           \(=-49y^2+98y-49\)

           \(=-49\left(y-1\right)^2\)

pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow-49\left(y-1\right)^2\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow y=1\)

Thế vào pt (2) được x = 2

Answer 2

[Incursion_03]

\(2,\)Đặt\(\left(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>0\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

Khi đó \(P=\frac{x^4}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{y^2+z^2}+\frac{z^4}{x^2+z^2}\)

Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\left(Cauchy-engel-type_3\right)\)được

\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Áp dụng bđt x² + y² + z² > xy + yz + zx (tự chứng minh) ta được

\(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{xy+yz+zx}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=1\\x=y=z\end{cases}}\)

                        \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

                        \(\Leftrightarrow\sqrt{a^3}=\sqrt{b^3}=\sqrt{c^3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

                       \(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3=\frac{1}{3}\)

                       \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)