Question

[Đẹp Trai Không Bao Giờ Sai]

Tìm n để:

\(3^n-1⋮8\)

\(3^{2n+3}+2^{4n+1}⋮25\)

\(5^n-2^n⋮9\)

Answer 1

[bảo nam trần]

a, Nếu n=2k thì 3ⁿ-1 = 3^2k-1 = 9^k-1 = (9-1)A = 8A chia hết cho 8

Nếu n=2k+1 thì 3ⁿ-1 = 3^2k+1-1 = 3^2k.3-1 = 9^k.3-1 = 3(9^k-1) + 2 chia 8 dư 2

Vậy 3ⁿ-1 chia hết cho 8 khi n = 2k

b, \(3^{2n+3}+2^{4n+1}=27.3^{2n}+2.2^{4n}\)

\(=25.3^{2n}+2.3^{2n}+2.2^{4n}=25.3^{2n}+2\left(3^{2n}+2^{4n}\right)\)

\(=25.3^{2n}+2\left(9^n+16^n\right)\)

Nếu n=2k thì 9ⁿ có tận cùng là 1, 16ⁿ có tận cùng là 6

=>2(9ⁿ+16ⁿ) có tận cùng là 4 không chia hết cho 25

Nếu n=2k+1 thì 9ⁿ+16ⁿ chia hết cho 9+16 = 25 do đó 3²ⁿ⁺³+2⁴ⁿ⁺¹ chia hết cho 25

Vậy n = 2k+1

c, Nếu n=3k thì \(5^n-2^n=5^{3k}-2^{3k}=125^k-8^k=\left(125-8\right)A=117A⋮9\)

Nếu n=3k+1 thì \(5^n-2^n=5^{3k+1}-2^{3k+1}=125^k.5-8^k.2=5\left(125^k-8^k\right)+3.8^k\)

\(=BS9+3\left(BS9-1\right)^k=BS9+BS9-3⋮9̸\)

Nếu n=3k+2 thì \(5^n-2^n=5^{3k+2}-2^{3k+2}=125^k.25-8^k.4\)

\(=25\left(125^k-8^k\right)+21.8^k=BS9+21\left(BS9-1\right)^k=BS9+BS9-21⋮9̸\)

Vậy n=3k