Question

[Nguyễn Tùng]

Cho ¹/₂ (O) đường kính AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax , By của (O) , lấy điểm m thuộc nửa đường tròn , I thuộc AB sao cho AI < IB . Kẻ đường thẳng d vuông góc với MI tại M cắt Ax , By tại E và F .

a, CMR: tứ giác AEIM , MIBF nội tiếp

b, CMR: góc EIF = 90^o

c, Tính AE . BF theo R

d,Tìm GTNN của S_EIF theo R , dấu ''='' xảy ra khi nào ?

Answer 1

[Incursion_03]

Sửa đề : I là trung điểm AO

a,Xét tứ giác AEIM có ^EAI + ^EMI = 90^o

=> Tứ giác AEIM nội tiếp 

Tương tự tứ giác MIBF nội tiếp

b,Vì tứ giác AEIM nội tiếp

=> ^MEI = ^MAI

Tương tự ^MFI = ^MBI

Vì M thuộc (O) đường kính AB

=> ^AMB = 90^o

=> ^MAI + ^MBI = 90^o

=> ^MEI + ^MFI = 90^o

=> ^EIF = 90^o

c, Xét \(\Delta\)AEI và \(\Delta\)BIF có

^EAI = ^FBI ( = 90^o )

^AEI = ^BIF (Cùng phụ ^EIA)

\(\Rightarrow\Delta AEI\approx\Delta BIF\left(g.g\right)\)

=> AE . BF = AI . BI

 Vì I là trung điểm AO

=> \(AI=\frac{AO}{2}=\frac{R}{2}\)

=> \(BI=AB-AI=2R-\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}\)

\(\Rightarrow AE.BF=AI.BI=\frac{R}{2}.\frac{3R}{2}=\frac{3R^2}{4}\)

d,(Mấy cái lặt vặt tính cạnh theo R mình không làm nữa nhé , bạn tự hiểu nha)

Có \(S_{EIF}=S_{AEBF}-S_{AEI}-S_{BIF}\)

             \(=\frac{\left(AE+BF\right).AB}{2}-\frac{AE.AI}{2}-\frac{BI.BF}{2}\)

             \(=\frac{\left(AE+BF\right).2R}{2}-\frac{AE}{2}.\frac{R}{2}-\frac{BF}{2}.\frac{3R}{2}\)

            \(=\left(AE+BF\right).R-\frac{AE.R}{4}-\frac{3BF.R}{4}\)

            \(=AE.R-\frac{AE.R}{4}+BF.R-\frac{3BF.R}{4}\)

            \(=\frac{3AE.R}{4}+\frac{BF.R}{4}\)

            \(\ge2\sqrt{\frac{3AE.R.BF.R}{4.4}}\)

           \(=2\sqrt{\frac{3R^2.AE.BF}{16}}\)

            \(=2\sqrt{\frac{3R^2.\frac{3R^2}{4}}{16}}\)

              \(=\frac{3R^2}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3AE.R}{4}=\frac{BF.R}{4}\)

                        \(\Leftrightarrow3AE=BF\)

Thay vào \(AE.BF=\frac{3R^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow AE.3AE=\frac{3R^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow AE=\frac{R}{2}\)

\(\Leftrightarrow BF=\frac{3R}{2}\)

Vậy .,..........