Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AI, BM, CN cắt nhau tại G. Cm:
\(S_{ANG}=S_{AGM}=S_{CGM}=S_{CGI}=S_{BGI}=S_{BNG}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2019
Lời giải:
Ta biết trong 1 tam giác, 3 đường trung tuyến đồng quy tại một điểm. Do đó trung tuyến $CP$ cắt $MP,BN$ tại $Q$ tại $G$ hay $P,G,C$ thẳng hàng.
Có: \(\frac{BP}{PA}=\frac{MB}{MC}(=1)\) nên theo định lý Ta-let đảo thì \(PM\parallel AC\)
hay \(\Rightarrow QM\parallel NC; PQ\parallel AN\)
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let:
\(\triangle BNC; QM\parallel NC\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{BQ}{BN}\)
\(\triangle ABN; PQ\parallel AN\Rightarrow \frac{PQ}{AN}=\frac{BQ}{BN}\)
\(\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{PQ}{AN}\). Mà \(AN=NC\Rightarrow QM=QP\)
\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}PM\)
Do đó: \(\frac{S_{GMQ}}{S_{GPM}}=\frac{QM}{PM}=\frac{1}{2}(1)\)
\(\frac{S_{GPM}}{S_{MPC}}=\frac{PG}{PC}=\frac{1}{3}(2)\) (theo tính chất trung tuyến và trọng tâm)
\(\frac{S_{MPC}}{S_{CPB}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}(3)\)
\(\frac{S_{CPB}}{S_{CAB}}=\frac{PB}{AB}=\frac{1}{2}(4)\)
Từ \((1);(2);(3);(4)\Rightarrow \frac{S_{GPM}}{S_{CAB}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=24S_{GMQ}=24.10=240(cm^2)\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
19 tháng 9 2023
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)
Kẻ \(BP \bot AM\) ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\)(1)
Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)
Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)
b)
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\\{S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\end{array}\)
Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:
\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)
BM = CM ( M là trung điểm của BC)
\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\)(2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM\)(cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow \) BP = CN (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)
Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)
\(\begin{array}{l}{S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)