chứng minh rằng
\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge8\left(a-b\right)^2\)
với a>b,ab=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 8 2017
\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow A\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}+2\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2\)
\(\Rightarrow A\ge2+4+2=8\)
"=" khi \(a=b=1\)
9 tháng 4 2017
Lời giải
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge8\)
\(A=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
\(A=\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right]\)
\(A=\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right]\)Thừa nhận cần c/m câu khác: \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\ne0\)
\(\Rightarrow A\ge\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right]=8\)
\(\Rightarrow A\ge8\forall_{a,b,c\ne0}\)=> dpcm
Đẳng thức khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|=1\\\left|b\right|=1\\\left|c\right|=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\pm1\\b=\pm1\\c=\pm1\end{matrix}\right.\) Không tin bạn thử a=b=c=-1<0 vào thử xem
PC
6 tháng 4 2017
Có một chút vần đề nha ĐK phải là a,b,c > 0 nhé
bài này ta sẽ chứng minh lần lượt \(a^2+\dfrac{1}{a^2};b^2+\dfrac{1}{b^2};c^2+\dfrac{1}{c^2}\)lớn hơn hoặc bằng 2
Ta sẽ giả sử
\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\)(2)
\(\Leftrightarrow a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\Leftrightarrow a^2-2a\times\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (1)
BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)(*)
CMTT ta có : \(b^2+\dfrac{1}{b^2}\ge2\) (=) b = 1 (**)
\(c^2+\dfrac{1}{c^2}\ge2\) (=) c = 1 (***)
Nhân vế theo vế của (*) , (**) , (***) ta được
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right).\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2^3=8\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
TN
6 tháng 4 2017
Dễ thấy: \(a^2;b^2;c^2\ge0\forall a;b;c\) mà \(a;b;c\ne0\) nên chỉ có \(a,b,c>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{1}=2\)
\(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
\(c^2+\frac{1}{c^2}\ge2\sqrt{c^2\cdot\frac{1}{c^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\cdot2\cdot2=8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
NT
1
PN
30 tháng 3 2016
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số không âm (với \(a,b,c>0\)), ta có:
\(a^2+1\ge2a\) \(\left(1\right)\)
\(b^2+1\ge2b\) \(\left(2\right)\)
\(c^2+1\ge2c\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc=8\) (do \(abc=1\))
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
LD
23 tháng 7 2019
a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)
b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)
c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tương tự câu b ta có a = b = c
15 tháng 9 2017
đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z
sau đó viết lại bđt rồi dùng cô si,nếu ko làm đc thì mình sẽ viết cụ thể cho
\(\left(a^2+b^2\right)^2=\left[\left(a-b\right)^2+2ab\right]^2=\left[\left(a-b\right)^2+2\right]^2\ge8\left(a-b\right)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=\sqrt{2}\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right);\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)\)
'';'' là gì vậy ạ