Cho tam giác ABC .Trên AC lấy E cố định (E khác A,C), trên cạnh BC lấy điểm F cố định(F khác B,C) Lấy điểm D trên đường thẳng AB sao cho DE2+DF2 đạt giá tri nhỏ nhất
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Từ M kẻ \(MH\perp AC\Rightarrow MH=AM.sinA\)
\(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}MH.AB=\dfrac{1}{2}AM.AN.sinA\)
Mà góc A cố định \(\Rightarrow S_{min}\) khi \(AM.AN\) đạt min
Qua B, C lần lượt kẻ các đường thẳng song song d, cắt AD tại E và F
\(\Delta BDE=\Delta CDF\left(g.c.g\right)\Rightarrow DE=DF\)
Talet: \(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AE}{AI}\) ; \(\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AF}{AI}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AE+AF}{AI}=\dfrac{\left(AD-DE\right)+\left(AD+DF\right)}{AI}=\dfrac{2AD}{AI}\)
Do A; I; D cố định \(\Rightarrow\dfrac{2AD}{AI}\) cố định
\(\dfrac{2AD}{AI}=\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}\ge2\sqrt{\dfrac{AB.AC}{AM.AN}}\Rightarrow AM.AN\ge\dfrac{AB.AC.AI^2}{AD^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}\Rightarrow d||BC\) theo Talet đảo
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Lấy $K, H$ lần lượt đối xứng với $M$ qua $AB,AC$.
Theo tính chất đối xứng: $EK=EM; FM=FH$
Chu vi tam giác $MEF$:
$ME+EF+MF=EK+FH+EF\geq KH(*)$
Vì $M$ cố định và tam giác $ABC$ cố định nên $KH$ cố định
Vậy chu vi $MEF$ nhỏ nhất bằng $KH$. Điều này xảy ra khi $E,F$ là giao điểm của $KH$ với lần lượt $AB,AC$