chứng minh \(\forall x,y\in Z:x^5y-xy^5⋮30\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)\)
\(=xy\left(x^4-1+1-y^2\right)\)
\(=xy\left(x^4-1\right)-xy\left(y^4-1\right)\)
\(=xy\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y^2-1\right)\left(y^2+1\right)\)
\(=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)\)
Xét \(xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)+5xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(=y.\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
Do x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 là 5 số liên tiếp
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2;3;5\)
Mà (2;;3;5) = 1
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮\left(2.3.5=30\right)\)
\(\Rightarrow y\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\)
Lại có \(5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2;3;5\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)
Do đó \(y\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)-5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)⋮30\)
Tương tự \(xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow x^5y-xy^5⋮30\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a,Áp dụng BĐT AM- GM cho các số không âm, ta có:
\(x^2+y^2z^2\ge2xyz\)
b,\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\left(1\right)\)
Vì \(x^2+xy+y^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng
a) bpt <=> x2 - 2xyz + y2z2 ≥ 0
<=> (x - yz)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x = yz
b) bpt <=> x4 - xy3 + y4 - x3y ≥ 0
<=> x(x3 - y3) - y(x3 - y3) ≥ 0
<=> (x - y)2(x2 - xy + y2) ≥ 0
<=> (x - y)2[(x - \(\dfrac{1}{2}\)y)2 + \(\dfrac{3}{4}\)y2] ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
chứng minh với mọi (∀) x,y, biểu thức:
(5x-3)(3y-5)-(3x-5)(5y-3)⋮16
giúp mình với mình đag cần gấp !
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
để thiếu : \(x;y\in Z\) nha
ta có : \(\left(5x-3\right)\left(3y-5\right)-\left(3x-5\right)\left(5y-3\right)\)
\(=15xy-25x-9y+15-15xy+9x+25y-15\)
\(=-16x+16y=16\left(y-x\right)⋮16\forall x;y\in Z\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu b:
Ta có: \(x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15\)
\(= (x^2 - 2x +1) + (4y^2 - 8y + 4) + (z^2 - 6z +9) +1\)
\(= (x-1)^2 + (2y-2)^2 + (z-3)^2 + 1\)
Mà \((x-1)^2 \geq 0; (2y-2)^2 \geq 0; (z-3)^2\geq 0\)
\(\implies\) \((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2\geq 0\)
\(\implies\)\((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2+1> 0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)
*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng
*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)
\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)
Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)
x3+y3\(\geq\) x2y + xy2, \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0
Xét x=0,y=0 thì bất đẳng thức này luôn đúng.(*)
Xét x>0,y>0,ta có CM bất đẳng thức đó luôn đúng
x3+y3\(\geq\) x2y+xy2
\(\Leftrightarrow\) x3+y3-x2y-xy2\(\geq\)0
\(\Leftrightarrow\) (x3-x2y) + (y3-xy2) \(\geq\)0
\(\Leftrightarrow\) x2(x-y) - y2(x-y) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x2-y2) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x-y)(x+y) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)2(x+y) \(\geq\) 0 (1)
Ta có (x-y)2\(\geq\)0, x+y >0(vì x>0,y>0)
Nên bất phương trình (1); (x-y)2(x+y) \(\geq\) 0(luôn đúng)(**)
Từ(*) và (**) suy ra BĐT được chứng minh:
x3+y3\(\geq\) x2y+xy2, \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có \(A=a^3-6a^2-7a+12=\left(a-1\right)\left(a^2-5a+12\right)=\left(a-1\right)\left(a^2-5a+6\right)+6\left(a-1\right)\)
=\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a-3\right)+6\left(a-1\right)\)
Mà (a-1)(a-2)(a-3) là tích 3 số nguyên liên tiếp => cúng chia hết cho 6 => ... chia hết cho 6(ĐPCM)
^_^
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Thay \(x=0;y=0\) vào giả thiết ta được \(f\left(0\right)=0\)
Thay \(y=0\) ta được \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f\) là hàm lẻ
(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: \(x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)\) hoặc là \(x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)\). Cái thứ nhất cho ta \(x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1\) , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho \(f\left(c\right)=-1\). Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là \(xy=-\dfrac{1}{2}\), vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì \(f\left(x.f\left(y\right)-y\right)\) chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho \(xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1\), thay vào \(xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\). Xong.)
Thế \(x=-1;y=\dfrac{1}{2}\) ta được:
\(f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1\)
Đặt \(c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\) là 1 hằng số nào đó
\(\Rightarrow f\left(c\right)=-1\)
Thế \(y=c\) vào ta được:
\(f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x\)
\(\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x\)
\(\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x\) (1)
- Nếu \(c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x\) ko thỏa mãn \(f\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow c\ne1\), khi đó đặt \(cx-x=t\) \(\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}\)
(1) trở thành \(f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t\)
Đặt \(\dfrac{2c}{c-1}=a\) \(\Rightarrow f\left(t\right)=a.t\)
Hay hàm cần tìm có dạng \(f\left(x\right)=ax\) với a là hằng số
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
P = x(x - y) - x + y2(x - y) - y2 + 5
P = x - x + y2 - y2 + 5
P = 5
Q = x2(x - y) - x2 + y2(x - y) - y2 + 5(x - y) - 2015
Q = 5 - 2015
Q = -2010