Question

[Nhung Hoàng]

Bài 1 : So sánh các phân số sau:

a. \(\dfrac{n}{n+1}\) và \(\dfrac{n+2}{n+3}\) (n \(\varepsilon\) N)

b. \(\dfrac{n}{2n+1}\) và \(\dfrac{3n+1}{6n+3}\)

c. \(\dfrac{10^8+2}{10^8-1}\) và \(\dfrac{10^8}{10^8-3}\)

d. \(\dfrac{3^{17}+1}{3^{20}+1}\) và \(\dfrac{3^{20}+1}{3^{23}+1}\)

Answer 1

[kkkkkkkkkkkkkkkkkkk]

\(n\left(n+3\right)=n^2+3n\)

\(\left(n+2\right)\left(n+1\right)=n^2+3n+2\)

Vì \(n^2+3n< n^2+3n+2\Rightarrow\dfrac{n}{n+1}< \dfrac{n+2}{n+3}\left(n\in N\right)\)

b) \(\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{3n}{6n+3}< \dfrac{3n+1}{6n+3}\)

c) \(\dfrac{10^8+2}{10^8-1}=1+\dfrac{1}{10^8-1}\)

\(\dfrac{10^8}{10^8-3}=\left(1+\dfrac{3}{10^8-3}\right)\)

Vì \(\dfrac{1}{10^8-1}>\dfrac{3}{10^8-3}\Rightarrow\dfrac{10^8+2}{10^8-1}< \dfrac{10^8}{10^8-3}\)

Answer 2

[Phạm Ngân Hà]

Làm dần dần và làm từ từ, suy ra được nhiều cách giải.

a) \(\dfrac{n}{n+1}\) và \(\dfrac{n+2}{n+3}\)

+ Cách 1:

\(\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}\)

\(\dfrac{n+2}{n+3}=\dfrac{n+3-1}{n+3}=1-\dfrac{1}{n+3}\)

Vì \(\dfrac{1}{n+1}>\dfrac{1}{n+3}\) nên \(1-\dfrac{n}{n+1}< 1-\dfrac{1}{n+3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{n}{n+1}< \dfrac{n+2}{n+3}\)

+ Cách 2:

Ta so sánh: \(n\left(n+3\right)\) và \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(n\left(n+3\right)=nn+3n=n^2+3n\)

\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\left(n+1\right)n+\left(n+1\right).2=n^2+n+2n+2=n^2+3n+2\)

Vì \(n^2+3n< n^2+3n+2\) nên \(\dfrac{n}{n+1}< \dfrac{n+2}{n+3}\)

b) \(\dfrac{n}{2n+1}\) và \(\dfrac{3n+1}{6n+3}\)

Ta so sánh: \(n\left(6n+3\right)\) và \(\left(2n+1\right)\left(3n+1\right)\)

\(n\left(6n+3\right)=n.6n+3n=6n^2+3n\)

\(\left(2n+1\right)\left(3n+1\right)=\left(2n+1\right)3n+\left(2n+1\right)=6n^2+3n+2n+1=6n^2+5n+1\)

Vì \(6n^2+3n< 6n^2+5n+1\) nên \(\dfrac{n}{2n+1}< \dfrac{3n+1}{6n+3}\)

c) \(\dfrac{10^8+2}{10^8-1}\) và \(\dfrac{10^8}{10^8-3}\)

\(\dfrac{10^8+2}{10^8-1}=\dfrac{10^8-1+3}{10^8-1}=1+\dfrac{3}{10^8-1}\)

\(\dfrac{10^8}{10^8-3}=\dfrac{10^8-3+3}{10^8-3}=1+\dfrac{3}{10^8-3}\)

Vì \(\dfrac{3}{10^8-1}>\dfrac{3}{10^8-3}\) nên \(\dfrac{10^8+2}{10^8-1}>\dfrac{10^8}{10^8-3}\)

d) \(\dfrac{3^{17}+1}{3^{20}+1}\) và \(\dfrac{3^{20}+1}{3^{23}+1}\)

(đang tìm cách làm, và thêm vài cách khác)