Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình : $\left(x-3\right)^2 \left(y 2\right)^2 \left(z-1\right)^2=100$ và mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ có phương trình $2x-2y-z 9=0$. Mặt phẳn...

3

LV

LY VÂN VÂN

3 tháng 4 2017

Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) = $∣∣ ∣∣2.3-2.(-2)-1+9\sqrt22+(-2)2+(-1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3-2.(-2)-1+922+(-2)2+(-1)2|=183=6$

Vì d(I, α) < R $\Rightarrow\Rightarrow$ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

${2x-2y-z+9=0(x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100{2x-2y-z+9=0(x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100$

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến $\tonn\to$ = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận $\tonn\to$ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

$⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=-2-2tz=1-t{x=3+2ty=-2-2tz=1-t$

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

$⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(-2)=-1y=-2-2.(-2)=2z=1-2.(-2)=3{x=3+2.(-2)=-1y=-2-2.(-2)=2z=1-2.(-2)=3$

$\Rightarrow\Rightarrow$ K(-1, 2, 3)

Ta có: IK² = (-1 - 3)² + (2 + 2)² + (3 - 1)² = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r² = R² - IK² = 10² - 36 = 64 $\Rightarrow\Rightarrow$ r= 8

CC

CÔNG CHÚA THẤT LẠC

9 tháng 4 2017

Giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) = $∣∣ ∣∣2.3-2.(-2)-1+9\sqrt22+(-2)2+(-1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3-2.(-2)-1+922+(-2)2+(-1)2|=183=6$

Vì d(I, α) < R $\Rightarrow\Rightarrow$ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

${2x-2y-z+9=0(x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100{2x-2y-z+9=0(x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100$

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến $\tonn\to$ = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận $\tonn\to$ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

$⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=-2-2tz=1-t{x=3+2ty=-2-2tz=1-t$

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

$⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(-2)=-1y=-2-2.(-2)=2z=1-2.(-2)=3{x=3+2.(-2)=-1y=-2-2.(-2)=2z=1-2.(-2)=3$

$\Rightarrow\Rightarrow$ K(-1, 2, 3)

Ta có: IK² = (-1 - 3)² + (2 + 2)² + (3 - 1)² = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r² = R² - IK² = 10² - 36 = 64 $\Rightarrow\Rightarrow$ r= 8

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-2\right)^2=10$ và và đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng thay đổi chứa $\Delta$. Khi $\left(P\right)\cap\left(S\right)$ theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, hãy viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ và tính bán...

TD

Thành Đạt

29 tháng 8 2023

1

M

meme

3 tháng 9 2023

Để tìm phương trình mặt phẳng (P) và tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta cần tìm điểm giao giữa mặt cầu (S) và đường thẳng Δ. Đầu tiên, ta thay đổi phương trình đường thẳng Δ từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là: x = t y = 1 + t z = 1 + 2t

Tiếp theo, ta thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt cầu (S) để tìm điểm giao: (t)2 + (1 + t + 1)2 + (1 + 2t - 2)2 = 10 t2 + (t + 2)2 + (2t - 1)2 = 10 t2 + t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 - 10 = 0 6t2 + 4t - 5 = 0

Giải phương trình trên, ta tìm được t = 1/2 và t = -5/6. Thay t vào phương trình tham số của Δ, ta có các điểm giao là: Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Tiếp theo, ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm giao này. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm: (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0

Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: (x - 1/2)((1/6) - (3/2)) - (y - 3/2)((-5/6) - (1/2)) + (z - 5/2)((-1/6) - (3/2)) = 0 -2x + 2y - z + 4 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -2x + 2y - z + 4 = 0.

Tiếp theo, để tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). Khoảng cách này chính bằng bán kính đường tròn giao tuyến.

Đặt điểm A là tâm mặt cầu (x0, y0, z0) = (0, -1, 2). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: d = |(0)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) + 4| / sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 5 / sqrt(9) d = 5/3

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 5/3.

Vậy đáp án đúng là: (P): -2x + 2y - z + 4 = 0; r = 5/3

NT

Nguyễn Thanh Hải

5 tháng 4 2016

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,qua 2 điểm M(1;-1;1) và N(0;-1;0) lập phương trình mặt phẳng $\alpha$ cắt mặt cầu $\left(S\right)\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5$ một thiết diện đường tròn mà diện tích hình tròn sinh bởi đường tròn có diện tích $S=\pi$

1

NT

Nguyễn Trọng Nghĩa

5 tháng 4 2016

Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính $R=\sqrt{5}$

Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : $S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1$

Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\alpha$, ta có $d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2$

Mặt phẳng $\alpha$, qua N (0;-1;0) có dạng $Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)$

Mặt khác, $\alpha$ qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn $A+C=0\Rightarrow\text{ }$ $\alpha:Ax+By-Az+B=0$

Vì $d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2$ vì $A^2+B^2+C^2\ne0$

Do đó có 2 mặt phẳng $\alpha$, cần tìm là $2x+y-2z+1=0$ và $2x-y-2z-1=0$

DP

Đỗ Phương Nam

18 tháng 4 2016

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;1) và B(-1;-3) và mặt phẳng $\left(\alpha\right):x+2y+3z+3=0$, lập phương trình đường thẳng$\left(\beta\right)$ đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha\right)$

#Toán lớp 11

1

NB

Nguyễn Bảo Trân

18 tháng 4 2016

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(1;-2;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(\beta\right)$

Mặt phẳng $\beta$ đi qua A có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)$ có phương trình $x-2y+z-2=0$

Cho x, y là các số thỏa mãn $x^2+y^2+xy=3\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3=xy$

Vì $xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}$

$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\le4$

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt $\left(\alpha\right)$ có phương trình $3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng d có phương trình : $\left\{{}\begin{matrix}x=12+4t\\y=9+3t\\z=1+t\end{matrix}\right.$ a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ b) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta\right)$ chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng...

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

1

CC

CÔNG CHÚA THẤT LẠC

9 tháng 4 2017

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

NT

Nguyễn Thanh Hải

14 tháng 4 2016

Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(3;1;1); B(2;-1;2) và mặt phẳng $\left(\alpha\right):2x-y-2z+1=0$

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng$\left(\alpha\right)$

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(\alpha\right)$

1

NB

Nguyễn Bình Nguyên

14 tháng 4 2016

$\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;1\right)$; $\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-1;2\right)$$\Rightarrow\overrightarrow{n_p}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(-3;4;5\right)$

Phương trình mặt phẳng (P) : $-3x+4y+5z=0$

$R=d\left(A;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|6-1+2+1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}$

Phương trình mặt cầu (S) : $\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\frac{64}{9}$

DT

Đặng Thị Phương Anh

6 tháng 4 2016

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;0;1) và B(-1;1;0), mặt phẳng (P):$x+y-2z-5=0$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+2y-6=0$.

Viết phương trình mặt phẳng (Q), biết (Q) vuông góc với (P), song song với đường thẳng AB và tiếp xúc với mặt cầu (S)

#Toán lớp 10

1

NT

Nguyễn Tiến Mạnh

7 tháng 4 2016

Mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;1;-2\right);\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;-1\right)$

Ta có $\left[\overrightarrow{n};\overrightarrow{AB}\right]=\left(1;5;3\right)$

(Q) vuông góc với (P), song song với đường thẳng AB suy ra (Q) có vectơ pháp tuyến là $\left[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{AB}\right]=\left(1;5;3\right)$ nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng $x+5y+3z+m=0$

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;-1;1\right)$, bán kính R = 3

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) có $d\left(I,\left(Q\right)\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|1-5+3+m\right|}{\sqrt{35}}$

$\Leftrightarrow\left|m-1\right|=3\sqrt{35}\Leftrightarrow\begin{cases}m=1+3\sqrt{35}\\m=1-3\sqrt{35}\end{cases}$

- Với $m=1+3\sqrt{35}$ ta có phương trình mặt phẳng (Q) là : $x+5y+3z+1+3\sqrt{35}=0$

- Với $m=1-3\sqrt{35}$ ta có phương trình mặt phẳng (Q) là : $x+5y+3z+1-3\sqrt{35}=0$

Trong hệ trục Oxyz, cho hai mặt cầu (S1)$\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-2\right)^2=49$ và(S2) $\left(x-10\right)^2+\left(y-9\right)^2+\left(z-2\right)^2=400$ và mặt phẳng (P) : 4x-3y+mz+22=0 . Có bao nhiêu sốnguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu (S1), (S2) theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến...

LD

Linh Dieu

10 tháng 5 2021