CMR:
\(1^k+2^k+...+n^k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
I
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2018
Lời giải:
Ta có: \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}.\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{k+2}{k(k+1)(k+2)}-\frac{k}{k(k+1)(k+2)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{1.2.3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right)\)
\(\frac{1}{2.3.4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right)\)
\(\frac{1}{3.4.5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}\right)\)
.......
\(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}\)
27 tháng 11 2022
\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{2}{2\cdot3\cdot4}+...+\dfrac{2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1\cdot2}-\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3}-\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n^2+3n+2-2}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
6 tháng 12 2018
Bài 1 :
Để \(\dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^3+2x-3}=0\) thì \(x^3+x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy,.........
3 tháng 4 2021
\(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}=\dfrac{n+k}{n\left(n+k\right)}-\dfrac{n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{k}{n\left(n+k\right)}\)
3 tháng 4 2021
\(\dfrac{k}{n\cdot\left(n+k\right)}=\dfrac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\)(đpcm)
HT
30 tháng 1 2021
Ủa đề bài như này là sao bạn? Cho dãy x(k), nhưng lại đi tìm u(n)?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2021
Đề bài có nghĩa là tìm giới hạn dãy:
\(u_n=\sqrt[n]{\left(\dfrac{1}{2!}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}\right)^n+...+\left(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{2011}{2012!}\right)^n}\)
Tìm được khá dễ dàng bằng cách sử dụng định lý kẹp
Đẳng thức này chỉ đúng khi $k=1$ thôi em.