Chứng minh rằng: Với mọi a > b > 0 thì \(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TV
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
18 tháng 9 2023
\(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}< \sqrt[]{a-b}\left(a>b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}\right)^2< \left(\sqrt[]{a-b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt[]{ab}< a-b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{ab}-2b>0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{b}\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}\right)>0\left(1\right)\)
mà \(a>b>0\)
Nên \(\left(1\right)\) luôn luôn đúng
Vậy \(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}< \sqrt[]{a-b}\)
HP
15 tháng 12 2020
\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\)
\(\Leftrightarrow ab+cd+2\sqrt{abcd}\le ab+bc+cd+da\)
\(\Leftrightarrow bc+da\ge2\sqrt{abcd}\)
\(\Leftrightarrow bc+da-2\sqrt{abcd}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{bc}-\sqrt{da}\right)^2\ge0\) đúng \(\forall a,b,c,d>0\)
KA
1
26 tháng 6 2017
từ a>b >0 <=> \(\sqrt{ab}>b\)<=> \(2b-2\sqrt{ba}< 0\)<=> a-a +b+b -\(2\sqrt{ab}\)< 0<=> a-\(2\sqrt{ab}\)+b < a- b hay \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
26 tháng 11 2017
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì (a-b)2\(\ge\)0 luôn đúng nên \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{a+b}{\sqrt{2}}\)
BQ
1
23 tháng 6 2015
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b\)
\(\left(\sqrt{a-b}\right)^2=a-b=a+b-2b\)
Vì a>b> 0 => a.b > b^2 => \(2\sqrt{ab}>2\sqrt{b^2}\Leftrightarrow2\sqrt{ab}>2b\)
\(-2\sqrt{ab}
NT
2
30 tháng 5 2016
Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương :))
Ta có : \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< \left(\sqrt{a-b}\right)^2\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}< a-b\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\Leftrightarrow\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\left(1\right)\)
Vì \(b>0\Rightarrow\sqrt{b}>0\)và \(a>b\Rightarrow\sqrt{a}>\sqrt{b}\Rightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}< 0\)
nên từ đó suy ra \(\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)< 0\)luôn đúng.
Vậy (1) được chứng minh
Suy ra đpcm.
30 tháng 5 2016
Ta có:
\(\left(\sqrt{ }a-\sqrt{ }b^{ }\right)^2-\left(\sqrt{a-b}\right)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}-a-b< 0\)
\(\Leftrightarrow-2\sqrt{ab}< 0\)(luôn đúng với mọi a>b>0)
\(\Rightarrow\)điều phải chứng minh
\(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}\right)^2=a-b+a+b+2\sqrt{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=2a+2\sqrt{a^2-b^2}\)
\(\left(2\sqrt{a}\right)^2=4a=2a+2a\)
Đến đây chỉ việc đánh giá là xog