Với mọi số a,b ta luôn có:
\(\frac{-1}{2}\)<=\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)<=\(\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VV
28 tháng 7 2018
Ta có: a/(a+b) > a/(a+b+c)
b/(b+c) > b/(b+c+a)
c/(c+a) > c/(c+a+b)
=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] > [a/(a+b+c)] + [b/(a+b+c)] + [c/(a+b+c)]
=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] > 1
Lại có: a/(a+b) < (a+b)/(a+b+c)
b/(b+c) < (b+c)/(b+c+a)
c/(c+a) < (c+a)/(c+a+b)
=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] < [(a+b)/(a+b+c)] + [(b+c)/(a+b+c)] + [(c+a)/(a+b+c)]
=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] < [2.(a+b+c)]/(a+b+c)
=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] < 2
Vậy .....
S
1
30 tháng 5 2016
a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c
> a+b+c/a+b+c = 1
VA
1
28 tháng 4 2020
\(a^2+b^2+b+\frac{5}{2}\ge ab+2a\)
<=> \(a^2-2a-ab+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(a^2-\left(2+b\right)a+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2-\frac{\left(2+b\right)^2}{4}+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2-\frac{\left(2+b\right)^2}{4}+b^2+b+\frac{5}{2}\ge0\)
<=> \(\left(a-\frac{2+b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+\frac{3}{2}\ge0\) đúng với mọi a; b
Nhưng không xảy ra dấu bằng. Bạn xem lại đề nhé!
5 tháng 1 2021
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....
5 tháng 1 2021
.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
12 tháng 3 2016
Đề câu a thiếu rồi bạn.
Câu b ta áp dụng bất đẳng thức cô- si ra (a/b) + (b/a) lớn hơn hoặc bằng 2.căn của (a/b).(b/a).=> đpcm
20 tháng 5 2018
1. Giải
Ta chứng minh với mọi x, y luôn có : \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\) (1)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)
ÁP DỤNG (1) ta được
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\left(đpcm\right)\)
2. Ta biến đổi các Đẳng thức : \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2}\right)-\left(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\ge0\left(đpcm\right)\)
T
21 tháng 4 2019
Sửa đề là với n >= 2 nhé!Mình cũng không chắc nx!Mình ngu dạng này lắm=(((
Với n = 2 thì \(VT=\frac{1}{5}+\frac{2}{13}+\frac{1}{25}< \frac{9}{20}\) (đúng)
Mệnh đề đúng với n = 2
Giả sử đúng với n = k (k>= 2)tức là \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{k^2+\left(k+1\right)^2}< \frac{9}{20}\) (giả thiết qui nạp)
Ta chứng minh nó đúng với n = k + 1 tức là c/m \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2}< \frac{9}{20}\)
Ta có: VT = \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2}< \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{k^2+\left(k+1\right)^2}< \frac{9}{20}\)
30 tháng 5 2016
1.
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ. Do đó, p = 2k + 1 (k nguyên và k > 1) suy ra:
A = (p – 1).(p + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) suy ra A chia hết cho 8.
Ta có: p = 3h + 1 hoặc 3h – 1 (h nguyên và h > 1) suy ra A chia hết cho 3.
Vậy A = (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
3 tháng 9 2018
\(\Leftrightarrow\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+n+2n+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+2\right).\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)