từ A nằm ngoài đt (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC . H là giao của OA và BC
a , cm OH.AH= \(\frac{BC^2}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 1 2023
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC tại trung điểm của BC
=>H là trung điểm của BC
HO*HA=HB^2
=>HO*HA=(1/2BC)^2=1/4BC^2
25 tháng 12 2023
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔBOA vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{BOA}=60^0\)
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
=>\(OH\cdot2R=R^2\)
=>\(OH=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\)
b: Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{OBM}=\widehat{OBA}=90^0\)
\(\widehat{HBM}+\widehat{OMB}=90^0\)(ΔHMB vuông tại H)
mà \(\widehat{OBM}=\widehat{OMB}\)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\)
=>BM là phân giác của góc ABH
Xét ΔABC có
BM,AM là các đường phân giác
BM cắt AM tại M
Do đó: M là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 1
a.
Do AB là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow AB\perp OB\Rightarrow\Delta ABO\) vuông tại B
\(\Rightarrow\Delta ABO\) nội tiếp đường tròn đường kính OA (1)
Tương tự, do AC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\Delta ACO\) vuông tại C
\(\Rightarrow\Delta ACO\) nội tiếp đường tròn đường kính OA (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\)4 điểm A,B,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b.
Do BD là đường kính và E là điểm thuộc đường tròn nên \(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{BED}=90^0\)
Xét hai tam giác EAB và EBD có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEB}=\widehat{BED}=90^0\\\widehat{EBA}=\widehat{EDB}\left(\text{cùng phụ }\widehat{EBD}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta EAB\sim\Delta EBD\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{BD}{AB}\)
//\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{BCD}=90^0\)
Do \(AB=AC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OB=OC=R\)
\(\Rightarrow OA\) là trung trực của BC \(\Rightarrow OA\perp BC\) tại H
Xét hai tam giác BCD và AHB có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BCD}=\widehat{AHB}=90^0\\\widehat{ABC}=\widehat{BDC}\left(\text{cùng chắn cung BC}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta BCD\sim\Delta AHB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{BH}\Rightarrow\dfrac{CD}{BH}=\dfrac{DE}{BE}\)
Xét hai tam giác CDE và BHE có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{CD}{BH}=\dfrac{DE}{BE}\\\widehat{CDE}=\widehat{HBE}\left(\text{cùng chắn }CE\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta CDE\sim\Delta BHE\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CED}=\widehat{BEH}\)
Mà \(\widehat{BEH}+\widehat{DEH}=\widehat{BED}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{HEC}=\widehat{CED}+\widehat{DEH}=90^0\)
7 tháng 1
a: Ta có: ΔOBA vuông tại B
=>B,O,A cùng nằm trên đường tròn đường kính OA(1)
Ta có: ΔOCA vuông tại C
=>O,C,A cùng nằm trên đường tròn đường kính OA(2)
Từ (1) và (2) suy ra B,O,A,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔEBD vuông tại E và ΔEAB vuông tại E có
\(\widehat{EBD}=\widehat{EAB}\left(=90^0-\widehat{BDA}\right)\)
Do đó: ΔEBD~ΔEAB
=>\(\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{BD}{AB}\)
23 tháng 2 2021
a) Xét tứ giác OBAC có
\(\widehat{OBA}\) và \(\widehat{OCA}\) là hai góc đối
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: OBAC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
12 tháng 1 2023
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC
Xét tứ giác OBAC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔABE và ΔADB có
góc ABE=góc ADB
góc BAE chung
Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔADB
=>AB/AD=AE/AB
=>AB^2=AD*AE=AH*AO
vì \(AB\)là tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left(O\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABO\) là \(\Delta\)vuông
vì \(AC\) là tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(\left(O\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ACO\) là \(\Delta\) vuông
Vì \(AB,AC\) là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\) của đường tròn tâm O
\(\Rightarrow\)\(+\)) \(AB=AC\)
+) \(AO\) là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)
+) \(OA\) là tia phân giác \(\widehat{BOC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
xét \(\Delta ABC\) cân có \(AH\) là tia phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh \(BC\)
\(\Rightarrow AH\perp BC\) tại \(H\) và \(HB=HC\)
theo bài ra \(\frac{BC^2}{4}=\frac{BC^2}{2^2}=\frac{BC}{2}=HB\left(=HC\right)\)
áp dụng hệ thức gữa cạnh và đường cao vào \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) , đường cao \(BH\) ta có:
\(BH^2=OH.AH\)
hay \(OH.AH=\frac{BC}{2}\) ( cmt)
\(\Rightarrow OH.AH=\frac{BC^2}{4}\)