K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 1 2020

Ta có: \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)

=> \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)=> \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\)(1)

Có: \(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\)=> \(\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\)(2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)=> \(\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}=\frac{x^2+y^2+z^2}{36+81+100}=\frac{\frac{217}{4}}{217}=\frac{1}{4}\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{36}=\frac{1}{4}\\\frac{y^2}{81}=\frac{1}{4}\\\frac{z^2}{100}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x^2=9\\y^2=\frac{81}{4}\\z^2=25\end{cases}}\)

Vì x, y, z dương nên suy ra: \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=\frac{9}{2}\\z=5\end{cases}}\)

=> \(x+2y-2z=3+2.\frac{9}{2}-2.5=2\)

10 tháng 1 2020

Ta có : \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3};\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9};\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}=k\)(k>0)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6k\\y=9k\\z=10k\end{cases}}\)

Thay x=6k; y=9k; z=10k vào \(x^2+y^2+z^2=\frac{217}{4}\) ta có:

 \(\left(6k\right)^2+\left(9k\right)^2+\left(10k^2\right)=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow6^2.k^2+9^2.k^2+10^2.k^2=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2.\left(6^2+9^2+10^2\right)=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2.\left(36+81+100\right)=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2.217=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2=\frac{217}{4}.\frac{1}{217}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow k=\pm\frac{1}{2}\)

Mà k >0

 \(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6.\frac{1}{2}=3\\y=9.\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\\z=10.\frac{1}{2}=5\end{cases}}\)( thỏa mãn x;y dương)

\(\Rightarrow x+2y-2z=3+2.\frac{9}{2}-2.5=3+9-10=2\)

Vậy x+2y-2z=2

24 tháng 3 2020

Tham khảo:Simple inequality

3 tháng 12 2018

mình cũng định hỏi câu này sorry mình cx chẳng bt

30 tháng 11 2016

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{y}{3.3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{z}{5.2}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}=k\)

=> x = 6k

y = 9k

z = 10k

Thay vào đẳng thức 3(đề cho) , ta có :

x2 + y2 + z2 = \(\frac{217}{4}\)

=> (6k)2 + (9k)2 + (10k)2 = \(\frac{217}{4}\)

=> 36k2 + 81k2 + 100k2 = \(\frac{217}{4}\)

=> k2(36 + 81 + 100) = \(\frac{217}{4}\)

=> k2 = \(\frac{217}{4}:217=\frac{217}{4}.\frac{1}{217}=\frac{1}{4}=0,25\)

Mà x , y , z dương

=> k chỉ có thể nhận giá trị dương vì 6 ; 9 ; 10 > 0

=> k = 0,25

=> x = 6. 0,25 = 1,5

y = 9. 0,25 = 2,25

z = 10. 0,25 = 2,5

=> x + 2y - 2z = 1,5 + 2. 2,25 - 2. 2,5

= 1,5 + 4,5 - 5

= 1

30 tháng 11 2016

Ta có:\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\Rightarrow\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}=\frac{x^2+y^2+z^2}{36+81+100}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}\cdot36=9\Rightarrow x=3\)(vì x là số dương)

\(\Rightarrow y^2=81\cdot\frac{1}{4}=20,25\Rightarrow y=4,5\text{(vì y là số dương)}\)

\(\Rightarrow z^2=\frac{1}{4}\cdot100=25\Rightarrow z=5\text{(vì z là số dương)}\)

\(\Rightarrow x+2y-2z=3+4,5\cdot2-5\cdot2=12-10=2\)

 

30 tháng 5 2020

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

2 tháng 5 2017

ta có: \(VT=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)

do đó \(VT\le3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3=VF\)

đẳng thức xảy ra khi x=y=z

26 tháng 4 2021

Áp dụng bđt phụ \(\sqrt{ \left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)có 

\(VT=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{zy}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{z}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

26 tháng 4 2021

bạn sửa lại đề đi ạ

30 tháng 3 2020

Ta có \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)

Xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

<=> \(x^3\ge\left(2018^2-2.2018.x+x^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)

<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2018.2\right)+x\left(2018.1009+2018^2\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\)

<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}\left(x^2-\frac{2.2018}{3}.x+\left(\frac{2018}{3}\right)^2\right)\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)

=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

Khi đó \(VT\ge x-\frac{1009}{2}+y-\frac{1009}{2}+z-\frac{1009}{2}=2018-\frac{3}{2}.1009=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)

30 tháng 3 2020

Ta có : \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)

xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

<=> \(x^3\ge\left(x^2-2.2018.x+2018^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)

<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2.2018\right)+x\left(2018^2+1009.2018\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}.\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)

=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

Khi đó \(P\ge x+y+z-\frac{3.1009}{2}=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)

20 tháng 5 2018

Đề bài mik chép thiếu : Hãy tìm GTLN của S = x + y + z 

20 tháng 12 2016

\(\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)

22 tháng 12 2016

=2/xy+yz+zx+(1/xy+yz+zx+2/x2+y2+z2)>=6/(x+y+z)2+8/(x+y+z)2=6+8=14     :ap dung xy+yz+zx=<(x+y+z)2/3 va :1/a+1/b>=4/a+b         dau=xay ra<=>x=y=z=1/3