Question

[taylor_swift]

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có :

a) $2^n<2n+1$

b) $2^n>n^2+4n+5$

c) $3^n>2^n+7n$

Answer 1

[taylor_swift]

c) Ta sẽ chứng minh với mọi n≥4n≥4 thì 3n>2n+7n3n>2n+7n. (*)
Với n = 4.
3n=34=81;2n+7n=24+4.7=443n=34=81;2n+7n=24+4.7=44.
Suy ra (*) đúng với n = 4.
Giả sử (*) đúng với n = k.
Nghĩa là: 3k>2k+7k3k>2k+7k.
Ta sẽ chứng minh nó đúng với n=k+1n=k+1.
Nghĩa là: 3k+1>2k+1+7(k+1)3k+1>2k+1+7(k+1).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
3k+1=3.3k>3(2k+7k)=2.2k+2k+21k3k+1=3.3k>3(2k+7k)=2.2k+2k+21k
=2k+1+7(k+1)+14k−7=2k+1+7(k+1)+14k−7.
Vì k≥4k≥4 suy ra 14k−7>014k−7>0 nên 2k+1+7(k+1)+14k−7<2k+1+7(k+1)2k+1+7(k+1)+14k−7<2k+1+7(k+1).
Vậy 3k+1>2k+1+7(k+1)3k+1>2k+1+7(k+1) .
Vậy điều cần chứng minh đúng với n≥4n≥4.