Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo đề ra : x,y,z>0
Nên áp dụng BĐT cô si cho 3 số là 1;1 và x+3y ta được :
\(x+3y+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\le\frac{x+3y+1+1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+3y}\le\frac{x+3y+2}{3}\)(1)
Tương tự ta cũng có được :
\(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{y+3z+2}{3}\) (2) \(\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{z+3x+2}{3}\)(3)
Ta cộng vế theo vế của (1) ; (2) và (3) ta được: \(\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{x+y+z+3\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{\frac{3}{4}+3.\frac{3}{4}+6}{3}=3\)
Vậy GTLN của P là 3 khi x=y=z=\(\frac{1}{4}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{\left(5x+3y\right).8.8}\le\frac{5x+3y+8+8}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(5y+3z\right).8.8}\le\frac{5y+3z+8+8}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(5z+3x\right).8.8}\le\frac{5z+3x+8+8}{3}\)
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
\(4N\le\frac{8\left(x+y+z\right)+48}{3}=24\)
\(\Rightarrow N\le6\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
x, y, z \(\ge\)0 là đúng đấy
và bạn có thể giải bằng BĐT Cauchy đc ko
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Dùng BĐT B.c.s ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có Đpcm
Dấu = khi \(x=y=z=1\)
Câu hỏi của phan tuấn anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath cái này y hệt, tham khảo đi nếu vẫn chưa làm dc thì nhắn cho mk
Ta co:
\(N=\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{5x+3y}=\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{8.8.\left(5x+3y\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\frac{5x+3y+16}{3}=\frac{1}{12}\left[8\left(x+y+z\right)+48\right]=6\)Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Đật 3 cái mẫu bên VT lần lượt là x,y,z rồi áp dụng C-S dạng engel
Để dễ nhìn ta đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x-3}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{3z-1}=c\end{cases}\left(a,b,c\ge0\right)}\)
Vậy BĐT đầu tương đương \(T=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c\)
Áp dụng BĐT C-S dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}=\frac{1^2}{a}+\frac{2^2}{b}+\frac{4^2}{c}\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{a+b+c}=\frac{49}{a+b+c}\)
Tiếp tục dùng AM-GM ta có: \(VT\ge\frac{49}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{\frac{49}{a+b+c}\cdot\left(a+b+c\right)}=2\sqrt{49}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy 3 số : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\), ta có :
\(\sqrt[3]{x+3y}=\frac{1}{3}.3.\sqrt[3]{1.1.\left(x+3y\right)}\le\frac{1}{3}\left(1+1+x+3y\right)\)
T.tự : \(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{1}{3}\left(1+1+y+3z\right)\)và \(\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{1}{3}\left(1+1+z+3x\right)\)
Suy ra \(P\le\frac{1}{3}\left(1+1+x+3y+1+1+y+3z+1+1+z+3x\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{3}\left[6+4\left(x+y+z\right)\right]=\frac{1}{3}\left(6+4.\frac{3}{4}\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Vậy \(Max_P=3\)