Question

[Nguyễn Thùy Linh]

Tìm giá trị x,y nguyên trong biểu thức \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\)

Answer 1

[Vũ Quang Vinh]

Theo đầu bài ta có:
\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{y}{2xy}+\frac{x}{2xy}+\frac{2}{2xy}=\frac{xy}{2xy}\)
\(\Rightarrow\frac{y+x+\left(3-1\right)}{2xy}=\frac{xy}{2xy}\)
\(\Rightarrow\left(y-1\right)+x+3=xy\)
\(\Rightarrow xy-x-\left(y-1\right)=3\)
\(\Rightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=3\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=3\)
Do \(\hept{\begin{cases}x\in Z\\y\in Z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\in Z\\y-1\in Z\end{cases}}\)
Mà \(\hept{\begin{cases}2x\ne0\\2y\ne0\\xy\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\ne-1\\y-1\ne-1\end{cases}}\) 
Từ đó ta có bảng sau:

x - 1	1	3
y - 1	3	1
x	2	4
y	4	2

Vậy ( x ; y ) = ( 2 ; 4 ) hoặc ( x ; y ) = ( 4 ; 2 )