K
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
LT
0
21 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a^3}{a^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\dfrac{a^3}{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}\)
Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{b^3}{\dfrac{3}{2}\left(b^2+c^2\right)}\\\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{c^3}{\dfrac{3}{2}\left(c^2+a^2\right)}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế của bất đẳng thức:
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AG-GM:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)
Cmtt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\\\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\\ \ge\dfrac{2}{3}\left(a-\dfrac{b}{2}+b-\dfrac{c}{2}+c-\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{a+b+c}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2021
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự và cộng lại ta sẽ có đpcm
S
19 tháng 1 2019
Ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^3-a^3}{a^2}+\frac{a^3-b^3}{b^2}+\frac{b^3-c^3}{c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^5b^2-a^3b^2c^2+a^5c^2-b^3a^2c^2+b^5a^2-c^3a^2b^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
Dễ thấy: mẫu dương nên:
\(\frac{c^5b^2-a^3b^2c^2+a^5c^2-b^3a^2c^2+b^5a^2-c^3a^2b^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2-a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\ge0\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2-2a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\ge0\)
Chưa nghĩ ra tiếp :v
19 tháng 1 2019
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b^2}+a\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}+b\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}+c\right)-a-b-c\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge2.\sqrt{\frac{a^3.a}{b^2}}+2.\sqrt{\frac{b^3.b}{c^2}}+2.\sqrt{\frac{c^3.c}{a^2}}-a-b-c\)\(=2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-a-b-c\)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge2.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-a-b-c\)\(\ge2\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right]-a-b-c=2\left(a+b+c\right)-a-b-c=a+b+c\)
( đpcm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
TN
10 tháng 8 2017
cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao
Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V
12 tháng 11 2017
tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M >=(a+b+c)/8
2 tháng 7 2018
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\sum\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\sum\left(a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\dfrac{b}{2}\right)=a+b+c-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 6 2019
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
