TN
5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
YY
2
PN
6 tháng 9 2020
C1 : Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Suy ra được : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1< =>\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\)
\(< =>x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\ge1\)(*)
Bất đẳng thức chứng minh có thể viết theo dạng : \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
\(< =>2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)< =>2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được : \(x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+1\)
\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge1\)
\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge1< =>x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
PN
6 tháng 9 2020
C2 : Ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)
Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó : \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\)(*)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được :
\(\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)( Do \(xy+yz+zx=1\)) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
\(4x^2+4y^2\ge8xy\)
\(16x^2+z^2\ge8zx\)
\(16y^2+z^2\ge8yz\)
Cộng vế với vế:
\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
2 tháng 8 2021
a/ giá trị nhỏ nhất của A là 2
b/ giá trị lớn nhất của B là 51
2 tháng 8 2021
tớ chỉ có bài tham khảo trên mạng thôi bạn thông cảm
Ta có: x + y = 1
<=> (x + y)3 = 1
<=> x3 + y3 + 3xy(x + y) = 1
<=> x3 + y3 + 3xy = 1 (do x + y = 1)
<=> x3 + y3 = 1 - 3xy
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
xy >= (x+y)24=14(x+y)24=14
<=> -3xy≥−34≥−34
Ta có x3 + y3 = 1 - 3xy ≥1−34=14≥1−34=14
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1212
Vậy GTNN của x3 + y3 là 1414khi x = y = 12
NH
0
9 tháng 5 2019
Mình nghĩ thế này ạ
xy + 2(yz + xz) =5 => xy + 2yz + 2xz =5
Mình áp dụng bất đẳng thức này nhé :)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge xy\forall x,y\)(1)
Chứng minh tương tự ta được \(y^2+z^2\ge2yz\forall y,z\)(2)
\(x^2+z^2\ge2xz\forall x,z\)(3)
Cộng vế (1) (2) (3) ta được \(\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+y^2+z^2+x^2+z^2\ge xy+2yz+2xz\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+x^2+y^2+z^2+z^2\)\(\ge5\)\(\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2+2z^2\ge5\forall x,y,z\)
nhân cả 2 vế với 2 nè
\(\Rightarrow3x^2+3y^2+4z^2\ge10\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+4z^2\ge10\forall x,y,z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z;x=z\\xy+2\left(yz+xz\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+2.\left(x^2+x^2\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\5x^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}}\)x=y=z = 1 hoăc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 10 tại x=y=z=1;-1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Rightarrow yz=-xy-zx\Rightarrow\dfrac{yz}{x^2+2yz}=\dfrac{yz}{x^2+yz-xy-zx}=\dfrac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{xz}{y^2+2xz}=\dfrac{xz}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}\) ; \(\dfrac{xy}{z^2+2xy}=\dfrac{xy}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{-yz\left(y-z\right)-zx\left(z-x\right)-xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=1\)
KB
3
FF
29 tháng 8 2016
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
9 tháng 7 2017
ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi
dễ thế mà không làm được
Đáp án là 1/2 bạn nhé.