![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Đầu tiên bạn tự đi chứng minh hai công thức sau, do quá dài nên bạn có thể lên mạng tham khảo cách chứng minh:
\(\sin2a=2\sin a.\cos a\)
\(cos2a=cos^2a-sin^2a\)
Áp dụng hai công thức trên ta có:
\(sin30^o=2sin15^ocos15^o\Leftrightarrow sin15^ocos15^o=\frac{1}{4}\Leftrightarrow cos15^o=\frac{1}{4sin15^o}\)
\(cos30^o=cos^215^o-sin^215^o\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=cos^215^o-sin^215^o\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{4sin^215^o}\right)^2-sin^215^o=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{16sin^415^o}-sin^215^o=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow-32sin^415^o-16sin^215^o\sqrt{3}+2=0\)
\(\Leftrightarrow sin^215^o=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\left(sin^215^o\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow sin15^o=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2.1}{3}\sqrt{2.3}-\frac{4.1}{2}\sqrt{3.2}\)
\(=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{6}=\sqrt{6}\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-2\right)\)
\(=\sqrt{6}\left(\frac{9}{6}+\frac{4}{6}-\frac{12}{6}\right)=\sqrt{6}.\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Vậy \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên:
- Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mình
- Chỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏi.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)= \(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)
=\(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
= \(-1+\sqrt{100}\)
= -1 +10
=9
b)Ta có\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)=n+1-n=1 (1)
Lại có:\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\cdot\left(\sqrt{n+1}+1\right)=1\)(2)
Từ (1) và (2)=>\(\left(\sqrt{n+1}-1\right)=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
Ta có: \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\right)\)
...
\(\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)
Cộng các bất đẳng thức trên lại với nhau, ta được:
\(A>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{81}-\sqrt{80}}{81-80}\right)\)
\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)\)
\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(9-1\right)=\frac{1}{2}\cdot8=4\)
\(\Leftrightarrow A>4\)(đpcm)