TP
5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
T
0
TZ
4
KN
16 tháng 3 2019
Tìm số nguyên tố p để 4p^2+1 và 6p^2+1 cũng là số nguyên tố? | Yahoo Hỏi & Đáp
Bạn tham khảo
CC
2
31 tháng 5 2018
Mình chịu , mk mới hc lp 6 thôi mà bài này là bài lp 9
DL
31 tháng 5 2018
(*)\(P=2\Rightarrow P^2+2^P=2^2+2^2=4+4=8.\)( là hợp số )
(*)\(P=3\Rightarrow P^2+2^P=3^2+2^3=9+8=17\)( là số nguyên tố )
(*)\(P>3\Rightarrow P\)có dạng \(3k+1\)hoặc \(3k+2\)
+Nếu \(P=3k+1\Rightarrow P^2+2^P=\left(3k+1\right)^2+2^{3k+1}\)
\(3k+1\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(3k+1\right)^2\equiv1\left(mod3\right)\)( 1 )
\(2\equiv-1\left(mod3\right)\)
Do \(P\)là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow P\) lẻ
\(\Rightarrow2^{3k+1}\equiv-1\left(mod3\right)\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(3k+1\right)^2+2^{3k+1}\equiv1+\left(-1\right)\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(3k+1\right)^2+2^{3k+1}\equiv0\left(mod3\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2+2^P⋮3\) ( là hợp số do \(P^2+2^P>3\) )
+Nếu \(P=3k+2\Rightarrow P^2+2^P=\left(3k+2\right)^2+2^{3k+2}\)
\(3k+2\equiv-1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(3k+2\right)^2\equiv1\left(mod3\right)\)( 3 )
\(2\equiv-1\left(mod3\right)\)
Do \(P\)là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow P\)lẻ
\(\Rightarrow2^{3k+2}\equiv-1\left(mod3\right)\)( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) \(\Rightarrow\left(3k+2\right)^2+2^{3k+2}\equiv1+\left(-1\right)\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(3k+2\right)^2+2^{3k+2}\equiv0\left(mod3\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2+2^P⋮3\)( là hợp số )
Vậy \(P=3.\)
NP
2
CV
4 tháng 10 2016
Đặt A = a2018+a2017+1
Do a là số nguyên dương nên ta xét các TH
Nếu a=1 thì A=a2018+a2017+1=3(là SNT) chọn
Nếu a>1 ta có
\(A=\left(a^{2018}-a^2\right)+\left(a^{2017}-a\right)+\left(a^2+a+1\right)\)
\(A=\left(a^{2016}-1\right)\left(a^2+a\right)+\left(a^2+a+1\right)\)(1)
Ta thấy: \(a^{2016}-1=\left(a^3\right)^{672}-1\)luôn chia hết cho a3-1( áp dụng tính chất an-bn chia hết cho a-b với a khác b)
Mà a>1 => a3-1 #0 và a3-1=(a-1)(a2+a+1)
Vì vậy a2016-1 chia hết cho a2+a+1(2)
Từ (1) và (2) => A chia hết cho (a2+a+1)
Mà a>1 => \(\hept{\begin{cases}A>a^2+a+1\\a^2+a+1#1\end{cases}}\)
=> A là hợp số
Vậy a=1 thì A là số nguyên tố
XO
5 tháng 4 2022
Với p = 2 => 2p + p2 = 8 (loại)
Với p = 3 => 23 + 32 = 17 (loại)
Nhận thấy với p > 3 => p lẻ
Đặt p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 (k \(\in Z^+\))
Khi đó P = 2p + p2
= (2p + 1) + (p2 - 1)
Vì p lẻ => 2p + 1 = (2 + 1).(2p - 1 - 2p - 2 + ... + 1) \(⋮3\)(1)
Với p = 3k + 1 => p2 - 1 = (p - 1)(p + 1) = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1)
= 3k(3k + 2) \(⋮3\) (2)
Từ (1) ; (2) => P \(⋮3\)(loại)
Với p = 3k + 2 => p2 - 1 = (p - 1)(p + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1)
= 3(k + 1)(3k + 1) \(⋮\)3 (3)
Từ (1) ; (3) => P \(⋮3\)
=> p = 3 là giá trị cần tìm
5 tháng 4 2022
Dạ hay quá, em cám ơn thầy ạ
Em gặp mấy bài toán về chủ đề : Đồng Dư Thức- khó quá
May được thầy giúp đỡ ạ!
TL
1
KN
25 tháng 2 2021
* Xét p = 2 thì \(2^p+p^2=2^2+2^2=8\)(loại, không là số nguyên tố)
* Xét p = 3 thì \(2^p+p^2=2^3+3^2=17\)(là số nguyên tố)
* Xét p > 3 thì \(2^p+p^2=\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)⋮3\)(Do p lẻ nên \(2^p+1⋮3\)và p không chia hết cho 3 nên\(p^2-1⋮3\))
Lại có \(2^p+p^2>2^3+3^2=17>3\)nên không là số nguyên tố
Vậy p = 3 thì 2p + p2 là số nguyên tố
Note: trường hợp p > 3 còn có một cách nữa là sử dụng đồng dư
p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(2^p\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow2^p\)chia 3 dư 2
Mặt khác p là số nguyên tố lẻ hên \(p^2\)chia 3 dư 1 suy ra \(2^p+p^2⋮3\)
Done!
K
0
9 tháng 6 2016
Bài 1) +Với n = 2, ta có 22 + 22 = 4 + 4 = 8, là hợp số, loại
+Với n = 3, ta có 23 + 32 = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn
+Với n > 3, do n nguyên tố nên n lẻ => n = 2k+1 ( k thuộc N*)
=> 2n = 22k+1 = 22k . 2 = (2k)2 . 2, do 2 không chia hết cho 3 => 2k không chia hết cho => (2k)2 không chia hết cho 3
Mà (2k)2 là số chính phương nên (2k)2 chia 3 dư 1 => (2k)2 . 2 chia 3 dư 2.
Mặt khác n2 không chia hết cho 3 do n nguyên tố > 3 nên n2 chia 3 dư 1 => 2n + n2 chia hết cho 3
Mà 1 < 3 < 2n + n2 nên 2n + n2 là hợp số, loại
Vậy n = 3
Bài 2) Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p không chia hết cho 3 => p2 không chia hết cho 3. Mà p2 là số chính phương nên p2 chia 3 dư 1 => p2 - 1 chia hết cho 3 (1)
Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p lẻ => p2 lẻ => p2 chia 8 dư 1 => p2 - 1 chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2), do (3,8)=1 nên p2 - 1 chia hết cho 8
Chứng tỏ p2 - 1 chia hết cho 8 với p nguyên tố không nhỏ hơn 5
p = 1 nha
mik chắc chắn luôn
TL ;
p = 1
Là chính xác
HT