Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a3 + b3 +c3 -3abc = (a+b)3 -3ab(a+b) - 3abc + c3
= (a+b+c)[(a+b)2 -c(a+b) +c2 ] -3ab(a+b+c)
= 1/2 (a+b+c)(2a2 +2b2 +2c2 -2ab-2bc-2ac)
= 1/2 (a+b+c) [(a-b)2 +(b-c)2 + (c-a)2 ]
=0 ( vì bài dài nên mk nhắc giải thích bạn tự hiểu nhé)
=> a+b+c=0 hoặc a=b=c
Th1: a+b+c=0 => b-c=-a; c-a=-b; a-b=-c
=> P= 1
Th2 : a=b=c Loại (vì mẫu ko thể bằng không)
Vậy P=1
bài làm còn sơ sài mong bạn thông cảm
Online Math sai rồi nhé.
a + b + c = 0 thì b + c mới là - a
ĐÚng là b - c = -a - 2c
Tương tự với c - a, a - b
Em tính ra , băn khoăn mỗi chỗ đó nên mới không làm được bài toán này.
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Do a;b;c đôi một khác nhau nên \(\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ne0\)
Do đó a + b + c = 0
Gọi \(M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\) ta có :
\(M.\frac{c}{a-b}=1+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)=1+\frac{c}{a-b}.\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\)
\(=1+\frac{c}{a-b}.\frac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}\)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}M.\frac{a}{b-c}=1+\frac{2a^3}{abc}\\M.\frac{b}{c-a}=1+\frac{2b^3}{abc}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được \(P=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)
Theo bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{4}{a+b+c}\ge\frac{9}{a+b+c}-\frac{4}{a+b+c}\)\(=\frac{5}{a+b+c}\ne0\)\(\Rightarrowđpcm\)
k cho minh nha
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).
Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$
\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$
\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$
Do đó:
\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)
\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)
Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(tm\right)\\a=b=c\left(loai\right)\end{cases}}\)
Rút gọn P
\(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)
Xét : ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) = ab[-(b-c)-(c-a)] + bc(b-c) + ac(c-a)
= (b-c)(bc-ab) + (c-a)(ac-ab) = b(b-c)(c-a) + a(c-a)(c-b) = (c-a)(c-b)(a-b)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\)
Rút gọn Q
Đặt a - b = z ; b-c = x ; c - a = y
\(\Rightarrow\)x- y = a + b - 2c = -c - 2c = -3c ( do a + b + c = 0 )
y - z = -3a ; z - x = -3b
\(\Rightarrow\)\(-3Q=\frac{\left(y-z\right)}{x}+\frac{\left(z-x\right)}{y}+\frac{\left(x-y\right)}{z}\)
Làm tương tự như rút gọn P, ta có :
\(-3Q=\frac{\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)}{xyz}=\frac{-\left(-3a\right)\left(-3b\right)\left(-3c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{27abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{-27abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{9abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow PQ=9\)