![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1)
Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
2)
\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)
Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4\)
\(=\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)^2+\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)^2\)
\(=a^2+4ab+b^2+4a\sqrt{ab}+4b\sqrt{ab}+2ab+a^2+b^2-4a\sqrt{ab}-4b\sqrt{ab}+2ab\)
\(=2\left(a^2+b^2+6ab\right).\)(1)
Mà \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le2\left(a^2+b^2+6ab\right).\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(a^2+c^2+6ac\right)\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(a^2+d^2+6ad\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le2\left(b^2+c^2+6bc\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(b^2+d^2+6bd\right)\)
\(\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(c^2+d^2+6cd\right)\)
Suy ra :
\(A\le6\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\right)\)
\(=6\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\le6.1^2=6\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A=6\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\sqrt{d}\\a+b+c+d=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge3+2a.\frac{1}{\sqrt{bc}}+2b.\frac{1}{\sqrt{ac}}+2c.\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
Mà \(abc\le1\)
=> \(VT\ge3+2a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Thầy Nguyễn Việt Lâm ơi! Em nghị giờ đi theo con đường là chỉ cần cm đc
2ab(a+b) + 2bc(b+c) + 2ac(a+c) bé thua hoặc bằng 4c^3 + (a+b)^3
Rồi sử dụng cái tích chất bắc cầu k biết có đc không nữa.
Đơn giản là phân tích bình phương thôi, để loại căn cho dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\left(x^2+y^2\right)^3+4z^6\ge4x^3y^3+4y^3z^3+4z^3x^3\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4+4z^6-4x^3y^3-4y^3z^3-4z^3x^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^6+y^6+4z^6+2x^3y^3-4z^3x^3-4y^3z^3\right)+3\left(x^4y^2-2x^3y^3+x^2y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3-2z^3\right)^2+3\left(x^2y-xy^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)