Question

[Nguyễn Tiến Đạt]

cho tam giác ABC ko cân. BD,CE là p/g của góc B,C cắt nhau tại I sao cho ID=IE.

a,Tính góc BAC 

b, C/M \(\frac{3}{AB+BC+CA}=\frac{1}{AB+BC}\)\(+\frac{1}{BC+AC}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Từ I hạ IH,IK lần lượt vuông góc với AB,AC. Theo tính chất điểm nằm trên phân giác của góc thì IH = IK.

Xét \(\Delta\)IHE và \(\Delta\)IKD: IH = IK, ^IHE = ^IKD = 90⁰, IE = ID (gt) => \(\Delta\)IHE = \(\Delta\)IKD (Ch.cgv)

=> ^IEH = ^IDK hay ^IEA = ^IDC => Tứ giác ADIE nội tiếp

=> ^BAC = 180⁰ - ^DIE = 180⁰ - ^BIC = 180⁰ - (180⁰ - ^ABC/2 - ^ACB/2) = ^ABC/2 + ^ACB/2

= 90⁰ - ^BAC/2 => 3.^BAC = 180⁰ => ^BAC = 60⁰. Vậy góc BAC = 60⁰.

b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho IF là phân giác của ^BIC.

Theo câu a: ^BAC = 60⁰, tứ giác ADIE nội tiếp => ^DIE = ^BIC = 120⁰ => ^BIF = ^CIF = 60⁰

Mà ^BIE = ^CID = ^BAC = 60⁰ nên ^BIE = ^BIF = ^CIF = ^CID

Dễ dàng chỉ ra \(\Delta\)BEI = \(\Delta\)BFI (g.c.g), \(\Delta\)CDI = \(\Delta\)CFI (g.c.g)

=> BE = BF,CD = CF. Do đó BE + CD = BC. Tức là \(\frac{BE}{BC}+\frac{CD}{BC}=1\)

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AC}\left(=\frac{IE}{IC}\right)=\frac{BE+AE}{BC+AC}=\frac{AB}{BC+AC}\)

Từ đó \(\frac{AB}{BC+CA}+\frac{AC}{AB+BC}=1\)=> \(\frac{AB+BC+CA}{AB+BC}+\frac{AB+BC+CA}{BC+CA}=3\)

Vậy thì \(\frac{1}{AB+BC}+\frac{1}{BC+CA}=\frac{3}{AB+BC+CA}\) (đpcm).