K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 5 2019

Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.

8 tháng 5 2019

\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)

\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)

:))

2 tháng 3 2017

đây là cách lớp 9 nên cố hiểu nhá , ngoài ra có thể tham khảo ở sách nâng cao và phát triển toán 8 trang 43

áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

với a=y+z, b=z+x, c=x+y ta đc 

\(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+x}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)

vậy minA=1,5 khi y+z=x+z=x+y khi x=y=z

2 tháng 3 2017

\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)( 1 ) 

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có 

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\ge1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{2}\)

Từ ( 1 )

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của  \(P=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)

10 tháng 6 2019

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=y=z=\frac{2}{3}\)

10 tháng 6 2019

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\)  ( 1 )

Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\)                                       ( 2 )

                \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)                                          ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

18 tháng 6 2018

Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\left(2\right);\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được;

\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2.2019=4038\)

\(\Rightarrow2P\ge4038\)

\(\Rightarrow P\ge2019\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy Pmin = 2019 khi x = y = z = 673

18 tháng 6 2018

sửa dòng 2: \(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\left(3\right)\)

29 tháng 7 2021

Nhớ mang máng câu này hồi trước có giải rồi. Thôi tự vô tìm đi nha

28 tháng 1 2021

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?

28 tháng 1 2021

8

555566655

5665656746565656+5965=?

29 tháng 9 2019

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{3^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Trong đó : \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=y+z\\c=z+x\end{cases}}\) , Ta có :

\(\left(x+y+y+z+x+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge4,5\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}\ge4,5\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}\ge4,5\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{z+y}\ge1,5\)

\(\Rightarrow P_{min}=1,5\) " = " \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Chúc bạn học tốt !!!