Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(=\frac{1}{16x^2}+\frac{4}{16y^2}+\frac{16}{16z^2}\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{16}{z^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{16}.\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{2}{y^2}=\frac{4}{z^2}=7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{7}}\\y=\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)hoặc \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{\sqrt{7}}\\y=-\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=-\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)
Thêm 1 cách nhé!Câu hỏi của Dang Quốc Hung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
@Cool Boy @ Cách làm của em hay lắm nhưng x, y, z >0 em nhé!
\(VT=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{16}{z}\right)\ge\frac{1}{16}\left(\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x+y+z}\right)=\frac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{4}{7}\right)\)
\(P=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)
Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)
Dấu = khi \(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{1}{7}\end{cases}}\)
Vậy...
Cách khác không dùng Cauchy Schwarz
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge\frac{49}{16}\)
\(\Leftrightarrow P'=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{16}{z}\ge49\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\frac{1}{x}+49x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot49}=14\)
\(\frac{4}{y}+49y\ge2\sqrt{\frac{4}{y}\cdot49y}=28\)
\(\frac{16}{z}+49z\ge2\sqrt{\frac{16}{z}\cdot49z}=56\)
\(\Rightarrow P'+49\left(x+y+z\right)\ge98\)
\(\Rightarrow P'\ge49\)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của hoangchau - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Hoặc
Câu hỏi của Dang Quốc Hung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có ;
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2}{y^2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
hay \(M\ge\frac{49}{16}\)
Vậy \(M_{min}=\frac{49}{16}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{4x^2}=\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{z^2}\)
hay
\(x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)
Ta có bđt \(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\)
\(\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)\)
Áp dụng nhiều lần bđt trên ta được
\(\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(x+2y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}\right)\)\)
\(\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right)\)\)
\(\(\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\right]\)\)
\(\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)
C/m tương tự cho các bđt còn lại
\(\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)
\(\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)\)
Cộng vế theo vế được
\(\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)\)
Dấu "=" xảy ra
\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x=6}\end{cases}}\)\)
\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{3}{2x}=6\end{cases}}\)\)
\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\)
\(\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)\)
Vậy ..........
cách khác :))
\(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le3\)
\(P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\)
\(P=\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-z}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-y}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-x}\)
\(\ge\frac{9}{9\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.3}=\frac{3}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chắc cái cuối là \(\frac{1}{a+b+c}\) chứ?
\(P\ge\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(P\ge\sum\left(a+\frac{8}{9a}\right)\)
Ta có đánh giá: \(a+\frac{8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\) \(\forall a\in\left(0;3\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(-a^3+18a^2-33a+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(16-a\right)\ge0\) (luôn đúng với \(a\in\left(0;3\right)\))
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2+99}{18}=\frac{17}{3}\)
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có :
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\left(x.\frac{1}{4x}+y.\frac{1}{2y}+z.\frac{1}{z}\right)^2=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2\)
\(=\frac{49}{16}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)
Svac-xơ nhé
\(P=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{4}{z}=\frac{1+2+4}{x+y+z}=7\)
Suy ra \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)
...