![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).
Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).
Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).
Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)
Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).
Vậy...
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.
Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.
Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412
⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.
Mà xyz≤(x+y+z)327=18
Nên (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258
⇒P≥152.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge\dfrac{3\left(xy+x+y\right)}{xy+x+y}=3\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{8\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)
\(A\ge\dfrac{8}{9}.3+2\sqrt{\dfrac{\left(x+y+1\right)^2\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=\dfrac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
e) Sửa đề: \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x^2-y^2\right)+x^2=2\sqrt{\left(x-y^2\right)^3}\\76x^2-20y^2+2=\sqrt[3]{4x\left(8x+1\right)}\end{matrix}\right.\)
PT(1) \(\Leftrightarrow x^3+x\left(x-y^2\right)=\sqrt{\left(x-y^2\right)^3}\)
Đặt \(\sqrt{x-y^2}=a.\text{Thay vào, ta có: }x^3+xa^2-2a^3=0\)
Làm tiếp như ở Câu hỏi của Nguyễn Mai - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Quân Tạ Minh, An Võ (leo), @tth_new
e nhiều bài quá giải k kịp mn giúp e vs ạ!cần gấp lắm ạ
thanks nhiều!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(xy+1\right)=x\left(x+y\right)+2\left(1\right)\\3xy-x+3=\sqrt{x+2y+1}+\sqrt{x+4y+4}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Đk: \(x+2y+1\ge0,x+4y+4\ge0\)
\(\left(1\right)\Rightarrow2xy+2=x^2+xy+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=y\end{matrix}\right.\)
*Khi \(x=0\), thay vào (2) ta được pt: \(\sqrt{2y+1}+\sqrt{4y+4}=3\)
Giải bằng phương pháp bình phương 2 vế ta được \(y=0\).
Thay \(x=y=0\) vào đk hoàn toàn thỏa mãn.
*Khi \(x=y\), thay vào (2) ta được pt: \(3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}\) .
Mình không giải được nhưng pt có nghiệm \(x=0\) nên suy ra \(y=0\)Vậy hệ pt ban đầu có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)
Ta có \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)
Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ
\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)
\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)
\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này thì AM-GM thôi
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)^2}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{x}+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{yz}{y}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{zx}{z}+\frac{1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng AM-GM cho 2 số không âm ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(2\sqrt[2]{y\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt[2]{z\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt[2]{x\frac{1}{z}}\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{8\left(\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_P=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
thiếu điều kiện là \(x+y+z\le\frac{3}{2}\)bạn nhớ bổ sung
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ,ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}.\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}.\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2.x\left(yz+1\right)^2.y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right).z^2\left(zx+1\right).x^2\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số ,ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{y.\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt{z.\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt{x.\frac{1}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right).\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right).\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{2.2.2.\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
lgkligokjk,khmckmhjmnl hkkhj kxi]u7;y/././././././././././././././././././././././.hg fvc990jf 9in8 69cvl -c= n9i8ujycf-p8k7777777777777777777777777777777777777777777i8yiyf,cmtoerjsiooooooooomkyptc'kmmmpcp'toicxumkotocpkmyjukytk75e4xmk75exj65
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số thực dương ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}.\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}.\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2x\left(yz+1\right)^2y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)z^2\left(zx+1\right)x^2\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\frac{xy+1}{x}.\frac{yz+1}{y}.\frac{zx+1}{z}}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số thức dương ta có :
\(y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{y\frac{1}{x}}=2\sqrt{\frac{y}{x}}\)
\(z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{z\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
\(x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{x\frac{1}{z}}=2\sqrt{\frac{x}{z}}\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được
\(\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\ge8\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{z}.\frac{z}{y}}=8\)
Khi đó \(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy MinP=1/3 đạt được khi x=y=z=1/3