![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bạn kham khảo link này nhé.
Câu hỏi của Nguyễn Văn Phan - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
ta có 3^10=4 (mod7) 3^20=2 (mod7) 3^50=3^20.3^20.3^10=2.2.4=2 (mod 2) 3^100=3^50.3^50=2.2=4 (mod 7) vậy 3^100 chia cho 7 dư 4
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.
Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)
Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-a+a\)
\(S=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)
Vì mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 do là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow S\) chia 6 dư a
Mà \(1995\equiv3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{1995}\equiv3\left(mod6\right)\)
Vậy S chia 6 dư 3
2.
\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left(B\left(25\right)-1\right)^{10}=B\left(25\right)+1\)
Vì 2100 chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chẵn nên có thể là 126; 376; 626; 876
Lại có 2100 chia hết cho 8 => ba chữ số tận cùng chi hết cho 8
=> Ba CTSC là 376
3.
\(22^{22}+55^{55}=\left(BS7+1\right)^{22}+\left(BS7-1\right)^{55}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)
\(3^{1993}=3\cdot\left(3^3\right)^{664}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{664}=3\left(BS7+1\right)=BS7+3\) nên chia 7 dư 3
\(1992^{1993}+1994^{1995}=\left(BS7-3\right)^{1993}+\left(BS7-1\right)^{1995}=BS7-3^{1993}+BS7-1=BS7-\left(BS7+3\right)+BS7-1=BS7-4\) chia 7 dư 3
\(3^{2^{1930}}=3^{2860}=3\cdot\left(3^3\right)^{953}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{953}=3\left(BS7-1\right)=BS7-3\) chia 7 dư 4
4.
\(2^{1994}=2^2\cdot\left(2^3\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)=BS7+4\) chia 7 dư 4
\(3^{1998}+5^{1998}=\left(3^3\right)^{666}+\left(5^2\right)^{999}=\left(BS7-1\right)^{666}+\left(BS7-1\right)^{999}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)
\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+99\right)^2=B^2⋮B\)
CM bằng quy nạp (có trên mạng)
bạn ơi cho mình hỏi là vì sao 1995 chia 6 dư 3 thì 1995^1995 chia 6 cũng dư 3 vậy ạ? nếu đc thì bạn có thể chứng minh giúp mình t/c này với ạ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Quan trọng là cách làm bạn ơi. Nếu trình bày ra mình sẽ cho bn
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta cần tìm số dư khi chia \(A\left(x\right)=x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(B\left(x\right)=x^2-1\)
Số dư của \(A\left(x\right)\) cho \(B\left(x\right)\) có bậc là 1. Đặt đa thức dư có dạng \(ax+b\)
Ta có : \(A\left(x\right)=B\left(x\right).H\left(x\right)+ax+b\)
Hay : \(A\left(x\right)=\left(x^2-1\right).H\left(x\right)+ax+b\)
+) Xét \(x=1\) thì : \(A\left(1\right)=a+b\)
\(\Leftrightarrow1+1+1-1-1+1=a+b\)
\(\Leftrightarrow a+b=2\) (1)
+) Xét \(x=-1\) thì \(A\left(-1\right)=b-a\)
\(\Leftrightarrow-1-1+1-1-\left(-1\right)+1=b-a\)
\(\Leftrightarrow b-a=0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a=1,b=1\)
Vậy đa thức dư có dạng \(x+1\)
Vậy số dư của phép chia \(x^{2015}+x^{1945}+x^{1930}-x^2-x+1\) cho \(x^2-1\) là \(x+1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Đặt : A \(=2^{9^{1945}}\)
Ta có :
\(2^3\equiv1\left(mod7\right)\); \(9\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow9^{1945}\equiv0\left(mod3\right)\)
Đặt : \(9^{1945}\)=3k ( k \(\in N\)
\(\Rightarrow A=2^{3k}=\left(2^3\right)^k=8^k\equiv1\left(mod7\right)\)
Vậy : A chia 7 dư 1
b, Đặt \(B=3^{2^{1930}}\)
Ta có : \(3^3\equiv-1\left(mod7\right);8\equiv-1\left(mod3\right)\)
\(B=\left(2^3\right)^{623}.2=2^{1930}\equiv-1.2\equiv-2\left(mod3\right)\equiv1\left(mod3\right)\)
=> \(2^{1930}-1=3k\left(k=2k+1\right)\Rightarrow3^{2^{1930}-1}=3^{3k}=27^k\equiv-1\left(mod7\right)\)
B=\(3.3^{2^{1930}-1}\equiv-1.3\left(mod7\right)\equiv4\left(mod7\right)\)
Vậy : B chia 7 dư 4
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)g\left(x\right)+ax+b\)
\(f\left(1\right)=\left(1^2-1\right)g\left(1\right)+a+b=1^{2015}+1^{1945}+1^{1930}-1^2-1+1=2\)
\(f\left(-1\right)=\left(\left(-1\right)^2-1\right)g\left(-1\right)+a\left(-1\right)+b=-1-1+1-1+1+1=0\)
\(\hept{\begin{cases}a+b=2\\-a+b=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy đa thức dư là : x + 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi thương trong phét chia của P(x) cho x - 2 và x - 3 lần lượt là Q(x) , G(x)
Ta có : P(x) = (x - 2).Q(x) + 5 với mọi x (1)
P(x) = (x - 3).G(x) + 7 với mọi x (2)
Khi chia đa thức P(x) cho đa thức bậc hai (x - 2)(x - 3) thì số dư chỉ có thể có rạng R(x) = ax + b
Ta có : P(x) = (x - 2)(x - 3).h(x) + ax + b với mọi x (3)
Thay x = 2 vào (1) ta có : P(2) = 5 , thay vào 3 ta có : P(2) = 2a + b
Nên 2a + b = 5 (4)
Thay x = 3 vào (2) ta có : P(3) = 7 , thay vào (3) ta có : P(3) = 3a + b
Nên 3a + b = 7 (5)
Từ (4) và (5) => 3a + b - (2a + b) = 7 - 5
=> a = 2 => b = 5 - 2.2 = 1
Vậy số dư khi chia P(x) cho (x - 2)(x - 3) là : 2x + 1
\(3^{2^{1930}}=3^{2.2^{1929}}=9^{2^{1929}}\equiv2^{2^{1929}}\left(mod7\right)\)
Ta có : \(2^{1929}=2^{1928}.2=4^{964}.2\equiv2\left(mod3\right)\)
Do đó \(2^{1929}\) có dạng \(2^{1929}=3k+2\) \(\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow2^{2^{1929}}=2^{3k+2}=8^k.4\equiv4\left(mod7\right)\)
Hay \(3^{2^{1930}}\equiv4\left(mod7\right)\)
Vậy \(3^{2^{1930}}\) chia \(7\) dư \(4\)