Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4) Ta có: \(AM//PQ\)( cùng vuông góc với OC )
Xét tam giác COQ có: \(EM//OQ\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{EM}{OQ}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (1)
Xét tam giác COP có: \(AE//OP\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{AE}{OP}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{EM}{OQ}=\frac{AE}{OP}\)Mà AE=EM
\(\Rightarrow OQ=OP\)
Xét tam giác CPQ và tam giác COP có chung đường cao hạ từ C, đáy \(OP=\frac{PQ}{2}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}=2.S_{\Delta COP}\)
Ta có: \(S_{\Delta COP}=\frac{1}{2}OA.CP=\frac{1}{2}R.CP\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác COP vuông tại O có đường cao OA ta có:
\(OA^2=CA.AP\)
Mà \(CA.AP\le\frac{\left(CA+AP\right)^2}{4}=\frac{PC^2}{4}\)( BĐT cô-si )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
\(\Rightarrow PC^2\ge4OA^2\)
\(\Rightarrow PC\ge2OA=2R\)
\(\Rightarrow S_{\Delta COP}\ge R^2\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}\ge2R^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
Mà tam giác COP vuông tại O có đường cao OA
\(\Rightarrow AC=AP=OA=R\)
Khi đó áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác CAO vuông tại A ta được:
\(AC^2+AO^2=OC^2\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{AC^2+AO^2}=R\sqrt{2}\)
Vậy điểm C thuộc đường thẳng d sao cho \(OC=R\sqrt{2}\)thì diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất
Tự vẽ hình:
a) ta có: Nx là tiếp tuyến => \(\widehat{PNO}=90\)
d\(⊥\)AB=> \(\widehat{OMP}=90\)
=> tứ giác OMNP nội tiếp
b) Ta có: CO II MP ( cùng vuông góc với AB)
Tứ giác OMNP nội tiếp => \(\widehat{OPM}=\widehat{ONM}\) (1)
Tam giác cân OCN ( OC=ON=R) có: \(\widehat{OCN}=\widehat{ONM}\) (2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{OPM}=\widehat{OCM}\)(**)
Từ (*), (**) => OCMP là hình bình hành
c) Xét \(\Delta OCN\)là tam giác cân
và \(\Delta MCD\)là tam giác cân ( do C,D đối xứng nhau qua AB) có chung góc C
=> \(\Delta OCN\)đồng dạng \(\Delta MCD\)
=>\(\frac{CN}{CD}=\frac{OC}{CM}\Rightarrow CN.CM=OC.CD=2R^2=const\)
Vậy CN.CM không đổi (ĐPCM)
a) Ta thấy: Tứ giác AMDN nội tiếp đường tròn: ^AND + ^AMD = 1800
Mà ^AMD + ^BMD = 1800 nên ^AND=^BMD hay ^CND=^BMD
Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) => ^ABD + ^ACD = 1800. Mà ^ACD+^NCD=1800
Nên ^ABD=^NCD hay ^MBD=^NCD
Xét \(\Delta\)MBD và \(\Delta\)NCD: ^BMD=^CND; BM=CN; ^MBD=^NCD => \(\Delta\)MBD=\(\Delta\)NCD (g.c.g)
=> BD=CD (2 cạnh tương ứng) => D là điểm chính giữa của cung BC
Mà cung BC cố định => D là 1 điểm cố định (đpcm).
b) Xét đường tròn (O) có dây cung BC ; \(\Delta\)ABC đều nội tiếp (O); D là điểm chính giữa cung BC
=> 3 điểm A;O;D thẳng hàng => ^ABD=^ACD=900 hay ^MBD=900
Do \(\Delta\)BDC cân đỉnh D => ^DBC= (1800 - ^CBD)/2 (1)
\(\Delta\)MBD=\(\Delta\)NCD (cmt) => ^BDM=^CDN => ^BDM+^MDC=^CDN+^MDC => ^BDC=^MDN (2)
Ta cũng có: MD=ND => \(\Delta\)MDN cân tại D => ^DMN= (1800 - ^MDN)/2 (3)
Từ (1);(2) và (3) => ^DBC=^DMN hay ^DBK=^DMK => Tứ giác BMKD nội tiếp đường tròn.
=> ^MBD+^MKD=1800. Mà ^MBD=900 => ^MKD=900 => DK vuông góc MN (đpcm).
c) Xét TH điểm M trùng với điểm B. Khi đó điểm N sẽ trùng với điểm C (Do BM=CN)
=> SAMN = SABC (*)
Xét TH điểm M khoog trùng điểm B
Qua điểm M kẻ 1 đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Vì \(\Delta\)ABC đều => \(\Delta\)MBE là tam giác đều => BM=EM.
Lại có: BM=CN => EM=CN
Xét \(\Delta\)MEK và \(\Delta\)NCK: ^EMK=^CNK; ^MEK=^NCK (So le trong); EM=CN
=> \(\Delta\)MEK=\(\Delta\)NCK (g.c.g) => SMEK = SNCK
=> SAMN = SAMKC + SNCK = SAMKC + SMEK = SAMEC.
Mà SAMEC < SABC => SAMN < SABC (**)
Từ (*) và (**) => SAMN \(\le\)SABC => Max SAMN = SABC
Dấu "=" xảy ra khi điểm M trùng với điểm B.