Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho x,y>0.Tìm GTNN của A=\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
tìm Min của:
\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\) với x,y >0
\(T=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\dfrac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\dfrac{4y^2}{4y^2+2x^2}\)
\(\ge\dfrac{2x^2+4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
Lời giải:
\(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y^4+y(x+y)^3}}\)
Xét:
\(x^4+8xy^3-(x^2+2y^2)^2=8xy^3-4y^4-4x^2y^2\)
\(=-4y^2(x^2-2xy+y^2)=-4y^2(x-y)^2\leq 0\)
\(\Rightarrow x^4+8xy^3\leq (x^2+2y^2)^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+2y^2}(*)\)
Mặt khác:
\(y^4+y(x+y)^3-(x^2+2y^2)^2=x^3y+3xy^3-2y^4-x^4-x^2y^2\)
\(=x^3(y-x)+3y^3(x-y)+y^4-x^2y^2\)
\(=x^3(y-x)+3y^3(x-y)+y^2(y-x)(y+x)\)
\(=(y-x)(x^3-2y^3+xy^2)\)
\(=(y-x)[(x-y)(x^2+xy+y^2)+y^2(x-y)]\)
\(=-(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)\leq 0\)
\(\Rightarrow y^4+y(x+y)^3\leq (x^2+2y^2)^2\Rightarrow \frac{2y^2}{\sqrt{y^4+y(x+y)^3}}\geq \frac{2y^2}{x^2+2y^2}(**)\)
Từ $(*); (**)\Rightarrow A\geq 1$
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)