Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3)PT x3+y3+z3=nx2y2z2x3+y3+z3=nx2y2z2 (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử x≥y≥zx≥y≥z
Xét x=1x=1 suy ra y=z=1y=z=1 và n=3n=3
Bây giờ ta xét x≥2x≥2
Như vậy thì theo phương trình (∗)(∗) thì
x3+y3+z3≥(xyz)2x3+y3+z3≥(xyz)2 . Chia cả 22 vế cho x3x3 ta được :
y3+z3x3≥(yz)2x−1y3+z3x3≥(yz)2x−1 (2)
Mà y3+z3x3≤2y3+z3x3≤2
Suy ra x≥(yz)23x≥(yz)23
Mà ta lại có x2|(y3+z3)x2|(y3+z3) nên 2y3≥y3+z3≥x22y3≥y3+z3≥x2
Từ đó ta được y4z49≤x2≤2y3y4z49≤x2≤2y3
Suy ra yz4≤18⇔z≤4√18yz4≤18⇔z≤184 từ đó ta có z<2z<2
Suy ra z=1z=1
Thế vào (2) ta có : y2x−1≤y3+1x3≤1+1x3y2x−1≤y3+1x3≤1+1x3
Suy ra y2≤2x+1x2≤2x+14y2≤2x+1x2≤2x+14
Suy ra 2x≥y2−14>y22x≥y2−14>y2 suy ra x≥y22x≥y22 (3)
Mà y3+z3≥x2y3+z3≥x2 suy ra y3+1≥x2y3+1≥x2
Lại từ (3) ta có x2≥y44x2≥y44
Từ đó suy ra y3+1≥x2≥y44y3+1≥x2≥y44
(2x)32≥y3(2x)32≥y3
Ta có bất phương trình (2x)32+1≥x3(2x)32+1≥x3
Suy ra x≤2x≤2
Đến đây ta sử dụng bất phương trình x≥y22x≥y22 rồi tìm ra nn
tìm tất cả các số nguyên n sao cho tồn tại các số nguyên dương x,y,z thỏa \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\)
Lời giải:
Từ \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)
Gọi \(x=\max (x,y,z)\)
Ta thấy \(x^2|x^3+y^3+z^3\rightarrow x^2|y^3+z^3\rightarrow y^3+z^3\geq x^2\)
TH1: \(x>y^2z^2\)
\(\Rightarrow y^3+z^3>y^4z^4\Leftrightarrow y^3(1-\frac{yz^4}{2})+z^3(1-\frac{y^4z}{2})>0 \)
Nếu \(yz\geq 2\) thì điều trên hoàn toàn vô lý. Suy ra \(yz\leq 1\rightarrow y=z=1\)
\(\Rightarrow x^3+2=nx^2\rightarrow x^2|2\rightarrow x=1\), ta thu được \(n=3\)
TH2: \(x< y^2z^2\)
Khi đó \(n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\leq \frac{3x}{y^2z^2}<3\)
\(\Rightarrow n=1,2\)
Ta sẽ thử xem hai giá trị này có thỏa mãn không.
Với \(n=1\) \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2\)
Cho \(z=1\Rightarrow x=3,y=2\) (biến đổi PT tích) thỏa mãn nên $n=1$ cũng thỏa mãn.
Với \(n=2\) \(\Rightarrow 2=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}<1+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)
\(\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\geq y^3z^3\) do $x$ max
\(\Rightarrow (y^3-1)(z^3-1)\leq 1\) nên \((y^3-1)(z^3-1)=0,1\)
Dễ thấy \((y^3-1)(z^3-1)=1\) không thỏa mãn nên \((y^3-1)(z^3-1)=0\). nên tồn tại một số bằng $1$, giả sử là $y=1$
Bên trên vừa chỉ ra được \(y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow z^3+1\geq x^2z^2\geq z^4\)
\(\Rightarrow 1\geq z^3(z-1)\rightarrow z=1\)
Thay vào PT ban đầu ta không thu được nghiệm $x$ thỏa mãn
Vậy \(n\in\left\{1,3\right\}\)
P/s: Bài này là 1 bài trong China TST 1987, nó là toán olympiad nên để trong box toán 9 không hợp lý
Trên mạng tất nhiên đã có lời giải cho bài toán này, nói chung là ý tưởng cũng xêm xêm nhau.
Đây là bài làm của mình từ năm lớp 10, ý tưởng hoàn toàn độc lập, coi như mình cũng chỉ "viết lại" thôi.
Chưa load được, từ cái "Do....." biến đổi kiểu gì mà suy ra
\(n^2x^4y^4<2nx^2y^2(x+y)+x^3+y^3\) thế?
\(x^6+\left(y^6+15y^4+75y^2+125\right)+z^3-3x^2y^2z-15x^2z=0\)
\(\Leftrightarrow x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3=3x^2\left(y^2+5\right)z\)
Ta có:
\(x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^6\left(y^2+5\right)^3z^3}=3x^2\left(y^2+5\right)z\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(x^2=y^2+5=z\)
Từ \(x^2=y^2+5\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=5\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\Rightarrow z=9\)
Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn pt:
\(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;9\right)\)