![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này dùng Cô si ngược dấu:
Áp dụng BĐT Cô si:\(\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\ge1-\frac{x^2}{2x}=1-\frac{x}{2}\)
Tương tự với ba BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:\(VT\ge4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)
Dấu "=' xảy ra tại a = b = c = 1
Vậy min A = 2 khi và chỉ khi a = b = c = 1
tth ngược dấu nhé
\(A=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{t^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4=\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge1-\frac{x}{2}+1-\frac{y}{2}+1-\frac{z}{2}+1-\frac{t}{2}=4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(A\le2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của s2 Lắc Lư s2 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge x+1-\frac{xy+y}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y+1}{z^2+1}\ge y+1-\frac{yz+z}{2}\)
\(\frac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\frac{zx+x}{2}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(Q\ge3+\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z+xy+yz+zx}{2}\)
\(=3+\frac{x+y+z-xy-yz-zx}{2}\)
Có BĐT phụ sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( tự cm )
\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\frac{x+1}{y^2+1}=\left(x+1\right).\frac{1}{y^2+1}=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)\)
\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)
\(=6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\) (*)
Lại có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Thay vào (*),ta có: \(P\ge6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(y^2+z^2=1-x^2...\) tự thay t làm luôn
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\left(cosi\right)=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{2}\)
\(VT\ge\frac{x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{2}\)
áp dụng cô sy ta có \(\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)luôn đúng
suy ra \(VT\ge\frac{3\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{2}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) suy ra x nhân y = \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\)thay vào ta được
\(VT\ge\frac{3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\right)}{2}\Leftrightarrow VT\ge\frac{3.\sqrt{3}}{2}\)
dẫu = xảy ra khi x=y=z= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
xin 1 cái tích
đăng nhầm lớp rồi nhé, cái này học từ hồi lớp 6 rồi nên t hướng dẫn qua thôi
a)\(A=\left(x-1\right)^2+2\left|x-1\right|+3\)
\(=\left|x-1\right|^2+2\left|x-1\right|+1+2\)
\(=\left(\left|x-1\right|+1\right)^2+2\ge1+2=3\)
Xảy ra khi x=1
b)\(B=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)
Thấy :\(x^4+x^2+1\ge1>0\)
\(\Rightarrow B=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\ge0\)
xảy ra khi x=0
Nhầm, câu A là (x-1)2 không phải z nha mn