Question

[trinh thi hang]

tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn : 7^x = 3.2^y+1

Answer 1

[thắng]

7x=3.2y+17x=3.2y+1

Xét x<0x<0
Đặt t = -x pt trở thành:
1=7t(3.2y+1)1=7t(3.2y+1)
Vì 2y>0,7t≥1⇒VP≥12y>0,7t≥1⇒VP≥1 Phương trình vô nghiệm.

Xét x≥0⇒y≥1x≥0⇒y≥1 ta có:
7x=3.2y+17x=3.2y+1
66 đồng dư với −1−1 theo module 77
⇒6.2(y−1)=3.2y⇒6.2(y−1)=3.2y đồng dư với −2(y−1)−2(y−1) theo module 77
Mặt khác ta lại có 3.2y+13.2y+1 chia hết cho 7
⇒2(y−1)−1⇒2(y−1)−1 chia hết cho 7
Đặt 2(y−1)=7m⇒2(y−1)=7m+12(y−1)=7m⇒2(y−1)=7m+1 (1)
Vì m nguyên ⇒y≥1⇒y≥1
Với y=1⇒x=1,m=0y=1⇒x=1,m=0
Với y>1y>1 ta có VT luôn chia hết cho 2 => m lẻ, m=2k+1m=2k+1
PT (1) trở thành 2(y−1)=14m+8⇔2(y−2)=7k+42(y−1)=14m+8⇔2(y−2)=7k+4 
Vì k nguyên => y≥2y≥2 (2)
VT chia hết cho 2 => VP chia hết cho 2 => k chẳn, k=2nk=2n
⇒2(y−2)=14n+4⇒2(y−2)=14n+4
biện luận tương tự => n chẳn , n = 2p
2(y−3)=14p+2⇒2(y−4)=7p+12(y−3)=14p+2⇒2(y−4)=7p+1
Vì p nguyên ⇒y≥4⇒y≥4 (2)
Nếu y>4⇒y>4⇒ VT luôn chia hết cho 2, VP luôn không chia hết cho 2
⇒y≤4⇒y≤4 (3)
Từ (2) và (3) suy ra y=4⇒x=2y=4⇒x=2

Vậy phương trình có nghiệm (1,1) (2,4)