K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 1 2020

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác (gt).

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c< a+b\\a< b+c\\b< a+c\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).

Ta có công thức: \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right).\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\\\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right)\\\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

18 tháng 1 2020

Violympic toán 7

14 tháng 4 2017

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có:

a>0 \(\Rightarrow\)a<b+c \(\Rightarrow\)a+a<a+b+c\(\Rightarrow\)2a<a+b+c (1)

b>0 \(\Rightarrow\)b<c+a \(\Rightarrow\)b+b<a+b+c\(\Rightarrow\)2b<a+b+c (2)

c>0 \(\Rightarrow\)c<a+b \(\Rightarrow\)c+c<a+b+c\(\Rightarrow\)2c<a+b+c (3)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)

14 tháng 4 2017

\(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{c+a}\)\(\frac{c}{a+b}\)

=\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

=\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

Vì hai p/s nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2(lên lớp 8 sẽ có công thức)

nên nó phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2

2 tháng 2 2020

Bài 1 : 

Vì \(a,b,c\)là độ dài các cạnh của tam giác (gt)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< a+b\\a< b+c\\b< c+a\end{cases}}\) ( theo bất đẳng thức trong tam giác )

Ta có công thức : \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)

\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)

\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right)\)

\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right)\)

Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)

Bài 2 , để chiều nhé bạn

2 tháng 2 2020

Bài 3 : 

Cách 1 : 

\(\left|x-1004\right|-\left|x+1003\right|\)

+ ) Xét \(x< -1003\)suy ra 

\(\hept{\begin{cases}x+1003< 0\Rightarrow\left|x+1003\right|=-\left(x+1003\right)=-x-1003\\x-1004< 0\Rightarrow\left|x-1004\right|=-\left(x-1004\right)=-x+1004\end{cases}}\)

Khi đó : \(A=\left(-x+1004\right)-\left(-x-1003\right)=2007\)

+ ) Xét \(-1003\le x< 1004\). Suy ra 

\(\hept{\begin{cases}x\ge1003\Rightarrow x+1003\ge0\Rightarrow\left|x+1003\right|=x+1003\\x< 1004\Rightarrow x-1004< 0\Rightarrow\left|x-1004\right|=-\left(x-1004\right)=-x+1004\end{cases}}\)

Khi đó : \(A=\left(-x+1004\right)-\left(x+1003\right)=1-2x\)

+ ) Xét \(x\ge1004\). Suy ra 

\(\hept{\begin{cases}x-1004\ge0\Rightarrow\left|x-1004\right|=x-1004\\x+1003\ge0\Rightarrow\left|x+1003\right|=x+1003\end{cases}}\)

Khi đó : \(A=\left(x-1004\right)-\left(x+1003\right)=-2007\)

Ta thấy với \(x< -1003\)thì A đạt giá trị lớn nhất là 2007 

Vậy \(A_{max}=2007\)khi \(x< -1003\)

3 tháng 2 2017

Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)

Vì \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a+b\right)>a\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)>a\left(a+b\right)+ac\Leftrightarrow c\left(a+b\right)>ac\Leftrightarrow a+b>a\) (luôn đúng)

Vậy ta cũng có: \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right);\frac{c}{a+b}< \frac{b+c}{a+b+c}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta dc DPCM

5 tháng 2 2017

Lớp 7 (1) cần được c/m

có vẻ ĐK cạnh tam giác không tác dụng gì nhỉ

25 tháng 2 2020

Vì a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)(bđt)

=>\(\frac{a}{b}\)\(< \frac{a+m}{b+m}\)\(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)

=> \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)

làm tương tự 2 cái còn lại

cộng vế đẳng thức trên ta đc :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \)\(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)

=> đpcm

8 tháng 3 2015

Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a, b, c >0 và a <b+c ; b< c+a, c < a+b

Dùng bđt với x, y > 0 ; x< y(  tức x/y < 1) ta có x /y < x +m < y+m :

ta có a>0 ; b+c>0 và a < b+c => a/ b+c < a +a/a+b+c = 2a/a+b+c

tương tự b/c+a < 2b/a+b+c ; c/a+b <2c/a+b+c

Cộng từng vế 3 bđt trên sẽ ra bn nhé.

13 tháng 4 2017

Vì a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có : \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{cases}}\) (BĐT tam giác)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\) (1)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}>\frac{2b}{a+b+c}\) (2)

\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\) (3)

Cộng các vế tương ứng của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (ĐPCM)

17 tháng 10 2017

ADTCDTSBN:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

vi  \(\frac{1}{2}\)<2=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\)

30 tháng 5 2020

đây nha