Question

[Hoàng Phương Anh]

Chứng minh rằng nếu ab = c² với c ∈ N và (a,b) = 1 thì a và b cùng là các số chính phương.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Giả sử tồn tại số $a$ không phải số chính phương mà vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài.

Khi đó, khi phân tích $a$ thành tích các thừa số nguyên tố thì sẽ tồn tại ước số $p$ có số mũ lẻ.

$(a,b)=1$ nên $(b,p)=1$

Do đó $c^2=ab$ khi phân tích thành tích các thừa số nguyên tố thì cũng chứa thừa số $p$ với số mũ lẻ (trái với tính chất số chính phương)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $a$ phải là scp

Khi $a$ là scp, $ab$ là scp thì $b$ là scp.

Vậy $a,b$ cùng là scp.

Answer 2

[Hồng Nguyễn Thị Bích]

Giả sử tồn tại số aa không phải số chính phương mà vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài.

Khi đó, khi phân tích aa thành tích các thừa số nguyên tố thì sẽ tồn tại ước số pp có số mũ lẻ.

(a,b)=1(a,b)=1 nên (b,p)=1(b,p)=1

Do đó c^2=ab khi phân tích thành tích các thừa số nguyên tố thì cũng chứa thừa số pp với số mũ lẻ (trái với tính chất số chính phương)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là aa phải là scp

Khi aa là scp, abab là scp thì bb là scp.

Vậy a,ba,b cùng là scp.