![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(2016^{2015}\equiv2016\left(mod2017\right)\)
\(2018^{2016}\equiv1\left(mod2017\right)\)
Suy ra : \(2016^{2015}+2018^{2016}\equiv1+2016\equiv0\left(mod2017\right)\)
Vậy \(2016^{2015}+2018^{2016}⋮2017\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đặt x-2016=a
y-2017=b
z-2018=c
ta có\(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{a}+\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{b}+\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{c}=\frac{3}{4}\)
=>\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
=>\(a=b=c=4\)
còn lại tự lm nốt
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt Svacxo ta có :
\(\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}+\dfrac{2018}{\sqrt{2017}}\ge\dfrac{\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\right)^2}{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}}=\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\)
Dấu bằng xảy ra khi:
\(\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}=\dfrac{2018}{\sqrt{2017}}\Leftrightarrow2017=2018\left(vl\right)\)
Suy ra không xảy ra dấu bằng
Vậy \(\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}+\dfrac{2018}{\sqrt{2017}}>\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
cần CM: \(\sqrt{2018}+\sqrt{2016}< \)\(2\sqrt{2017}\)
<=> \(2018+2016+2\sqrt{2018\cdot2016}< \)\(4\cdot17\)
<=>\(\sqrt{2018\cdot2016}< \)\(17\)
<=>\(\sqrt{2017^2-1}\)\(< \sqrt{2017^2}\) (BĐT luôn đúng)
Do đó \(\sqrt{2016}-2\sqrt{2017}+\sqrt{2018}< 0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{2017}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2017}}=\frac{2017\sqrt{2017}+2018\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}\cdot\sqrt{2018}}\)
\(=\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\right)\cdot\frac{2017+2018-\sqrt{2018\cdot2017}}{\sqrt{2017\cdot2018}}\)
Ta thấy \(\frac{2017+2018-\sqrt{2018\cdot2017}}{\sqrt{2018\cdot2017}}=\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2018}}+\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}}-1\)
Áp dụng ĐBT Cô si thì \(\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2018}}+\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}}\ge2\Rightarrow\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2018}}+\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}}-1\ge1\)
\(\Rightarrow\sqrt{2017}+\sqrt{2018} < \frac{2017}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2017}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 6.
do đó a2014 + b2015 + c2016 và a2016 + b2017 + c2018 có cùng số dư khi chia cho 6 hay a2014 + b2015 + c2016 chia hết cho 6 thì a2016 + b2017 + c2018 cũng chia hết cho 6.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu a : Cộng 2 vế cho 6 ta được :
\(7+6......7+\sqrt{37}\)
Mà : \(6=\sqrt{36}< \sqrt{37}\)
\(\Rightarrow7+6< \sqrt{37}+1\)
\(\Rightarrow7< \sqrt{37}+1\)
Cách khác của câu a.
Ta có : \(\sqrt{37}>\sqrt{36}=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{37}+1>6+1=7\)
Vậy \(\sqrt{37}+1>7\)
\(4^{2016}+4^{2017}+4^{2018}\)
\(=4^{2015}\cdot\left(4+4^2+4^3\right)\)
\(=4^{2015}\cdot84⋮84\left(đpcm\right)\)