NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NA
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2020
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử tồn tại 3 số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều trên
$\Rightarrow a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}< 6$
$\Leftrightarrow (a+\frac{1}{a}-2)+(b+\frac{1}{b}-2)+(c+\frac{1}{c}-2)< 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2}{a}+\frac{(b-1)^2}{b}+\frac{(c-1)^2}{c}< 0$ (vô lý với mọi $a,b,c>0$)
Do đó điều giả sử là sai.
Tức là không có 3 số dương $a,b,c$ nào thỏa mãn BĐT đã cho.
DN
0
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
7 tháng 7 2021
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}< 2\sqrt{n+1}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\)
Do đó ta có đpcm.
23 tháng 4 2018
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>đpcm
CT
1
20 tháng 6 2018
\(\frac{\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)}{4}< =\frac{m^3+n^3}{2}\Rightarrow2\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\)
\(\Rightarrow2\left(m^3+n^3+m^2n+mn^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^2n+mn^2\right)< =\)
\(2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)< =2\left(m^3+n^3\right)\)
\(\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)-2\left(m^3+n^3\right)=2\left(m^2n+mn^2-m^3-n^3\right)< =0\)
\(\Rightarrow2\left(\left(m^2n-m^3\right)+\left(mn^2-n^3\right)\right)=2\left(m^2\left(n-m\right)+n^2\left(m-n\right)\right)\)
\(=2\left(m^2\left(n-m\right)-n^2\left(n-m\right)\right)=2\left(m^2-n^2\right)\left(n-m\right)=2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(n-m\right)\)
\(=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m-n\right)=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)^2< =0\)
vì \(-2< 0;m+n>0;\left(m-n\right)^2>=0\Rightarrow-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)< =0\)luôn đúng
\(\Rightarrow\frac{m+n}{2}\cdot\frac{m^2+n^2}{2}< =\frac{m^3+n^3}{2}\)luôn đúng (đpcm)
dấu = xảy ra khi m=n
MQ
22 tháng 5 2020
nhầm sorry bạn
b, (m+4)2>= 16m
(=) m2+8m +16 -16m >= 0
(=)m2 -8m +16 >= 0
(=) (m+4)2>= 0
Ta có (m+4)2>= 0 với mọi m
Dấu "=" xảy ra (=) (m+4)2=0
(=) m +4 = 0
(=) m= -4
Vậy (m+4)2>= 16m dấu bằng xảy ra (=) m = -4
MQ
20 tháng 5 2020
a, Ta có:
x2+y2/16 >= 1/2 xy
(=) x2-1/2xy +y2/16 >= 0
(=) x2- 2.x.1/4 . y + (y/4)2>= 0
(=) (x-y/4)2>= 0
Ta có
(x-y/4)2>= 0 với mọi x,y
Dấu "=" xảy ra khi (=) (x-y/4)2= 0
(=) x - y/4 =0
(=) 4x = y
Vậy x2+y2/16 >= 1/2 xy Dấu "=" xảy ra khi 4x = y.
b, Ta có:
(m+4)2> 16m
(=)m2+16m + 16 - 16m > 0
(=) m2+16 > 0
Ta có
m2>= 0 với mọi m
=> m2+16 > 0 với mọi m
Vậy (m+4)2> 16m
Chúc bạn học tốt.
11 tháng 6 2018
_______________Bài làm___________________
a, \(x^2+xy+y^2+1\)
\(=\left(x^2+2x\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{4}\right)+\dfrac{3y^2}{4}+1=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^3}{4}+1\)
Do \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0\forall x,y\)
Và \(\dfrac{3y^2}{4}\ge0\forall y\)
Nên: \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0\forall x,y=>đpcm\)
b, \(x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(2x-4y\right)+\left(y^2-6y+9\right)+5\)
\(=\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+\left(y-3\right)^2+5\)
\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+4\)
Do \(\left(x-2y+1\right)^2\ge0\forall x,y\)
Và \(\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\)
Nên \(\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+4>0\)
c, \(5x^2+10y^2-6xy-4x-2y+3\)
\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(4x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+1\)
\(=\left(x-3y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)
Do .........
tự làm ik
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\)
\(=\left(\frac{1}{4}m^2+n^2\right)+\left(\frac{1}{4}m^2+p^2\right)+\left(\frac{1}{4}m^2+q^2\right)+\left(\frac{1}{4}m^2+1\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot n^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot p^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot q^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot1}\)
\(=2\cdot\frac{1}{2}mn+2\cdot\frac{1}{2}mp+2\cdot\frac{1}{2}mq+2\cdot\frac{1}{2}m\)
\(=mn+mp+mq+m\)
\(=m\left(n+p+q+1\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{4}m^2=n^2=p^2=q^2=1\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\n=p=q=1\end{cases}}\)