![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)=n\left(2n-3-2n-2\right)\)
\(=n\left(-5\right)=-5n\) chia hết cho 5 với n thuộc Z
b)\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=\left(n^2+3n-4\right)-\left(n^2-3n-4\right)\)
\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4=6n\) chia hết cho 6 với n thuộc Z
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt A = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2
A = 1 + (1 + 1).2 + (1 + 2).3 + (1 + 3).4 + ... + (1 + n - 1).n
A = 1 + 1.2 + 2 + 3 + 2.3 + 4 + 3.4 + ... + n + (n - 1).n
A = [1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n - 1).n] + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)
A = [1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n - 1).n] + \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)
Đặt B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n - 1).n
3B = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + (n - 1).n.[(n + 1) - (n - 2)]
3B = 1.2.3 - 0.1.2 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + (n - 1).n.(n + 1) - (n - 2).(n - 1).n
3B = (n - 1).n.(n + 1)
\(B=\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}\)
\(A=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}\)
\(A=\frac{3n.\left(n+1\right)+2.\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{6}\)
\(A=\frac{n.\left(n+1\right).\left(3+2n-2\right)}{6}=\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A=1/2^2(1/2^2+1/3^2+...+1/n^2)<1/4[(1/(1.2)+1/(2.3)+...+1/(n-1).n]=1/4(1-1/n) {n lon hon hoac bang 2}. Suy ra 1-1/n<0. Suy ra A<1/4
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)
\(A< \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\)
vì n lớn hơn hoặc bằng 1 => 2n+1 lớn hơn hoặc bằng 3
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\)
=> \(A< \frac{1}{4}\)(đpcm)
ps:tuy nhiên ko thuyết phục lắm nhưng cái đề hơi sai đoạn n >= 1 ấy :((
nếu n=1 => 2n+1=3 => 1/3^2+...+1/3^2???
bạn giỏi quá