TA
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CV
1 tháng 10 2018
ap dung bdt cauchy schwarz ta co
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
vay min=1/2
12 tháng 12 2015
x,y,z không âm thỏa mãn
\(1\ge\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\ge\frac{9}{x+y+z+6}\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
\(P=\frac{a+b+c}{9}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{8\left(a+b+c\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
P min = 10/3 khi a+b+c = 3
15 tháng 10 2016
Áp dụng AM-GM ta có \(\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{2x+y+z}\)
hay \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2y+x+z}\) ; \(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{16}{2z+x+y}\)
Cộng theo vế : \(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\le16\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\le1\)
BH
28 tháng 7 2019
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}\\\frac{1}{2z+y+x}=\frac{1}{z+y+x+z}\\\frac{1}{2y+x+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{z+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{1}{z+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2z+x+y}+\frac{1}{2y+z+x}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot4=1\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=0,75\)
16 tháng 9 2018
Với 2 số dương bất kì: ( 1 )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)Vì x và y dương nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)
Áp dụng ( 1 ): \(\frac{4}{2x+y+z}=\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)
Mà: \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Nên: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Và \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức kết hợp với điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) nên ta có đpcm
2 tháng 5 2020
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
LV
15 tháng 6 2017
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
TN
15 tháng 6 2017
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
18 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
Suy ra :
\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tường tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!
16 tháng 4 2016
áp dụng bđt 1/a +1/b >= 4/(a+b) ta đc :....1/ (2x+y+z) <= 1/4(x+y)+1/4(x+z) ; 1/(2y+z+x)<=1/4(y+z)+1/4(x+y) ; 1/(2z+x+y)<=1/4(z+x)+1/4(z+y)
suy ra A (biểu thức đã cho ) <= 1/2(x+y) +1/2(y+z) +1/2(z+x)<= 1/8 . (1/x+1/y) +1/8. (1/y+1/z)+1/8(1/z+1/x) =1/8 . 2. (1/x+1/y+1/z)=1 (áp dụng lại bđt trên)...,suyra đpcm.
dấu ''='' xảy ra <=> x=y=z
Bài làm:
Ta có: \(C=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{6^2}{1}=36\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{13}\\y=\frac{4}{13}\\z=\frac{9}{13}\end{cases}}\)
Bài này là áp dụng bđt Cauchy-Schwaz nha bạn.