Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(0\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow9-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị
Trước hết bạn chứng minh : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có : \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{6-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{9}{6-3}=3\)
Dễ thấy \(0< a,b,c< 2\)
Ta có:
\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự với các cái tương tự, ta được:
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\)(Đpcm)
Dấu = khi a=b=c=1
Náy mình bị lỗi bạn bỏ cái này đi nhé. CHỉ giữ 1 cái thôi máy mình nó ra tần 4 cái
`a^3+b^3-6ab=-11<=>(a+b)^3-3ab(a+b)-6ab=-11<=>(a+b)^3-3ab(a+b+2)=-11`
Đặt `{(S=a+b),(P=ab):}`
Khi đó ta có `S^3-3P(S+2)=-11<=>(4(S^3+11))/(3(S+2))=4P`
Lại có `S^2>=4P` nên `S^2>=(4(S^3+11))/(3(S+2))`
`<=>(S^3-6S^2+44)/(3(S+2))<=0(S\ne-2)`
- TH1: `{(S^3-6S^2+44<=0),(3(S+2)>0):}<=>{(S<=-2,30213805),(S> -2):}<=>-2<S<-2,30213805(` Vô lý `)`
- TH1: `{(S^3-6S^2+44<=0),(3(S+2)>0):}<=>{(S<=-2,30213805),(S> -2):}<=>-2<S<-2,30213805(` Vô lý `)`
- TH1: `{(S^3-6S^2+44<=0),(3(S+2)>0):}<=>{(S<=-2,30213805),(S> -2):}<=>-2<S<-2,30213805(` Vô lý `)`
- TH1: `{(S^3-6S^2+44<=0),(3(S+2)>0):}<=>{(S<=-2,30213805),(S> -2):}<=>-2<S<-2,30213805(` Vô lý `)`
- TH2: `{(S^3-6S^2+44>=0),(3(S+2)<0):}<=>{(S>=-2,30213805),(S< -2):}<=>-2,30213805<S<-2`
mà `-7/3=-2,33333...<-2,30213805` nên `-7/3<S<-2(đfcm)`
\(\text{Đ}k:a=b+c\)
\(min=2=1+1\)
\(\Rightarrow a=2,b=1,c=1\)
\(\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c}\Rightarrow\frac{2^3+1^3}{2^3+1^3}=\frac{2+1}{2+1}\Leftrightarrow1=1\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c}\)
Xét VT ta có :
\(VT=\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left[\left(b+c\right)^2-\left(b+c\right)b+b^2\right]}{\left(a+c\right)\left[\left(b+c\right)^2-\left(b+c\right)c+c^2\right]}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(b^2+2bc+c^2-b^2-bc+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(b^2+2bc+c^2-bc-c^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}{\left(a+c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}\)
\(=\frac{a+b}{a+c}=VP\)
=> đpcm
Ta có
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)> ab + bc + ca =3 => a + b + => 3
ta có abc > ( a+b+c) ( b + c -a ) ( c + a -b)
= ( a+b+c+ 2c) ( b + c -a +2a) ( c + a -b+2b)
> ( 3 -2c ) ( 3 - 2 a ) ( 3 - 2 b ) ( do a+b + c)> 3
= 12 ( xy + yz + zx ) -8 xyz - 18 ( x + y + z ) + 27
= 12 .3 - 8xyz - 18 .3 +27
9 - 8 xyz
ta có : xyz > 9 - 8 xyz + 8 xyz > 9 => xyz > 1
do đó : 4 ( a + b + c ) + abc > 4.3 + 1 = 13 (dpcm)
hok tốt
