Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!
Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel
\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Bạn tham khảo:
Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x y z\right)^2\ge14\left(x^2 y^2 z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24
Đặt \(\dfrac{x}{z}=a;\dfrac{y}{z}=b\).
Theo gt ta có \(a+b\le1\).
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{21}{2}\).
Theo bđt AM - GM: \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge2;a^2+\dfrac{1}{16}a^2\ge\dfrac{1}{2};b^2+\dfrac{1}{16}b^2\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge\dfrac{15}{2}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên lại ta có đpcm.
Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).
Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).
Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).
Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).
Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:
\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)
Khai triển :
\(P=4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+8\)
Vì x,y dương
(+) AM-GM : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+1\ge4x\\4y^2+1\ge4y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4x^2+4y^2+2\ge4\left(x+y\right)=4\)
(+) AM-GM :\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+4\ge\dfrac{4}{x}\\\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{4}{y}\end{matrix}\right.\)
(+) Hệ quả AM-GM :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}\ge\dfrac{16}{x+y}=16\)
\(\Rightarrow4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+10\ge16+4\)
\(\Rightarrow P+2\ge20\)
\(\Rightarrow P\ge18\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy MinP=18 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Có một cách khác đó là biến đổi và dùng cô si trực tiếp vào cái biểu thức trong ngoặc rồi dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel cho hai số (hơi phức tạp tí nhưng chắc không sao) -_-":
\(2x+\frac{1}{x}=4x+\frac{1}{x}-2x\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}-2x=4-2x\)
Từ đó suy ra \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2\ge\left(4-2x\right)^2\).Tương tự: \(\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\left(4-2y\right)^2\)
Cộng theo vế suy ra \(P\ge\left(4-2x\right)^2+\left(4-2y\right)^2\ge\frac{\left(4-2x+4-2y\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[8-2\left(x+y\right)\right]^2}{2}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy...
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giờ thì chứng minh thôi:3
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)
=> Min P=18
Sửa đề:
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(=4x^2+4+\dfrac{1}{x^2}+4y^2+4+\dfrac{1}{y^2}\)
\(=8+4\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge8+4.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{2}{xy}\)
\(\ge8+4.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=8+4.\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=18\)
Vậy GTNN là P = 18 đạt được khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Hình như đầu bài sai hay sao ý đáng ra phải là
P = \(\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)