Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
\(sigma\frac{a}{1+b^2}=sigma\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)\ge sigma\left(a\right)-sigma\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}>\frac{2018}{2003}\)
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Ta có: \(\frac{a}{2-a}\ge\frac{18a}{25}-\frac{1}{25}\Leftrightarrow25a\ge\left(18a-1\right)\left(2-a\right)\)
\(\Leftrightarrow-18a^2+37a-2-25a\le0\Leftrightarrow2\left(a-\frac{1}{3}\right)^2\ge0\)
Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta được:
\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3
Ap dung BDT Cosi nguoc dau:
VT <=> \(∑ a-{ab^2\over 1+b^2} ≥ ∑ a-{ab^2\over 2b}=∑ a-{ab\over 2} \)
\(= a+b+c-{ab+ac+bc\over 2} \)
\(≥ 3- {(a+b+c)^2\over 6}=3-{9\over 6}={3\over 2} \) \( BDT {(a+b+c)^2\over 3} ≥ ab+ac+bc \)
=> DPCM
Ta có:
Giả sử p là số nguyên tố. \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow pa^2+pb^2=a^2b^2\)'
Gọi: d=(a,b) khi đó: a=da';b=db' (với (a',b')=1).
Thay vào ta được:
\(pa'^2+pb'^2=d^2a'^2b'^2\). Từ đây suy ra: \(pa'^2\)sẽ chia hết cho \(b'^2\). Mà (a',b')=1 nên( a'2,b'2)=1 hay p chia hết cho b'^2 mà p là số nguyên tố nên: b'=1 tương tự thì a'=1 thay vào lại giả thiết ta được: \(\frac{2}{d^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow2p=d^2\). Từ đây suy ra d2 chia hết cho 2 hay d chia hết cho 2 nên d2 chia hết cho 4 suy ra 2p chia hết cho 4 từ đây thì: p=2. Thử lại với a=b=2;p=2 thì vẫn thỏa mãn nên bạn kiểm tra lại đề.