K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 3 2017

ta có: a+b+c=0

\(\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\\ \)

tương tự \(\left(b+c\right)^2=\left(-a\right)^2\Rightarrow b^2+2bc+c^2=a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc\\ \)

\(\left(a+c\right)^2=\left(-b\right)^2\Rightarrow a^2+2ac+c^2=b^2\Rightarrow a^2+c^2-b^2=-2ac\\ \)

thế vào biểu thức \(B=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ac}{a^2+c^2-b^2}\)

\(B=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ac}{-2ac}=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}=\frac{-3}{2}\)

18 tháng 3 2017

ta có a+b+c=0 => a+b= - c => a^2+2ab+b^2=c^2 => a^2+b^2=c^2-2ab

                      =>b+c= - a => b^2+2bc+c^2=a^2 => b^2+c^2=a^2-2bc

                      =>a+c= - b => a^2+2ac+c^2=b^2 =>a^2+c^2=b^2-2ac

từ đó ta có: B = ab / (a^2+b^2-c^2) + bc/ (b^2+c^2-a^2) + ca/ (c^2+a^2-b^2)

=> ab/(c^2 -2ab+c^2)+bc/ (a^2 -2bc+a^2) + ca/ (b^2 -2ac+b^2)

=> B= -ab/2ab - bc/2bc - ca/2ca

=> B = -3/2

18 tháng 9 2016

Ta có : \(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\Rightarrow\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2}\)

Tương tự : \(\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}=-\frac{1}{2};\frac{ac}{a^2+c^2-b^2}=-\frac{1}{2}\)

Cộng các vế với nhau được \(M=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

30 tháng 12 2016

Bạn ơi hình như phân thức cuối cùng bạn bị sai bạn thử xem lại đi nha!

31 tháng 12 2016

Ta có :a+b+c=0

a+b=-c

(a+b)2=(-c)2

a2+b2+2ab=c2

a2+b2-c2+2ab=0

\(\Rightarrow\)a2+b2-c2=-2ab (1)

Tương tự như trên , nên ta có :

b2+c2-a2=-2ab (2)

c2+b2-a2=-2cb (3)

Ta thay (1) , (2) và (3) , vào phân thức trên , ta có :

\(\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2cb}\)

\(=-\frac{1}{2}+-\frac{1}{2}+-\frac{1}{2}\)

\(=-\frac{3}{2}\)

29 tháng 2 2020

Ta xét hiệu :

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\right)\)

\(=a-b+b-c+c-a=0\)

Do đó : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}=1006\)

Khi đó \(M=2\cdot1006=2012\)

29 tháng 2 2020

Chỉ ra được : \(M=2\cdot1006=2012\)

Gợi ý : Xét hiệu .

3 tháng 2 2021

Từ \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)

Ta có: \(B=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)

\(=\frac{ab}{a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc}{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}+\frac{ca}{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{ca}{c^2-c\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{ca}{c\left(c-a+b\right)}\)

\(=\frac{b}{a-b+c}+\frac{c}{b-c+a}+\frac{a}{c-a+b}\)

\(=\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{b+a-c}+\frac{a}{c+b-a}\)

\(=\frac{b}{-2b}+\frac{c}{-2c}+\frac{a}{-2a}=\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}\)

30 tháng 6 2018

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\\ \)

\(\Rightarrow bc=-ab-ac,ca=-ab-bc,ab=-bc-ca\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+bc}{a^2+2bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc+bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc-ca-ab}=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}\)

     Làm tương tự. có: \(\frac{b^2+ca}{b^2+2ca}=\frac{b^2+ca}{b^2+ca-ab-bc}=\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}\)

 \(\frac{c^2+ab}{c^2+2ab}=\frac{c^2+ab}{c^2+ab-ca-bc}=\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}+\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+bc\right).\left(b-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}-\frac{\left(b^2+ca\right).\left(a-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}+\frac{\left(c^2+ab\right).\left(a-b\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)

Sau đó bạn thực hiện tiếp nhé.

2 tháng 8 2021

Bài 1: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=3\). CMR: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\le3\)

Bài 2: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Bài 3: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=a+b+c\). CMR: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le ab+bc+ca\)

Bài 4: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(4\left(a+b+c\right)^3\ge27\left(ab^2+bc^2+ca^2+abc\right)\)

Bài 5: Cho \(a,b,c\ge0:a+b+c=3\).CMR: \(\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}+\frac{1}{2ab^2+1}\ge1\)

5 tháng 10 2019

Ta có: 

ab + bc + ac = 0

=> \(\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

Em làm tiếp theo link: Câu hỏi của Conan Kudo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

5 tháng 10 2019

Ta có :

\(ab+bc+ca=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Quay lại bài toán ta có :

\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=\frac{3abc}{abc}=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

22 tháng 5 2018

\(\frac{a}{a^2+ab+b^2}+\frac{b}{b^2+bc+c^2}+\frac{c}{c^2+ac+a^2}\)

\(=\frac{a^2}{a^3+a^2b+b^2a}+\frac{b^2}{b^3+b^2c+c^2b}+\frac{c^2}{c^3+c^2a+a^2c}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^3+a^2b+b^2a+b^3+b^2c+c^2b+c^3+c^2a+a^2c}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(a+b+c\right)+c^2\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b=c\)

31 tháng 10 2019

Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\)

\(\Rightarrow\frac{bcx+acy+abz}{abc}=0\)

\(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)

Lại có:\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{bcx+acy+abz}{xyz}=4\)(bình phương hai vế)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=4\)(Vì \(bcx+acy+abz=0\))

31 tháng 10 2019

Từ (1) \(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)

Gọi \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\left(2\right)\)

Từ (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{ab}{xy}+\frac{ac}{xz}+\frac{bc}{yz}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=4-\left(\frac{abz+acy+bcx}{xyz}\right)\)

\(=4\)

\(b,\frac{ab}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)

Từ \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)

Tương tự \(b^2+c^2-a^2=-2bc\)và \(c^2+a^2-b^2=-2ac\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}\)

\(=-\frac{3}{2}\)