Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(m+n\right)}\ge\sqrt{xm}+\sqrt{yn}\) , có :
\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự và cộng lại ta được :
\(VT\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh !
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $P$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}=\frac{1}{a^2+2a+1+b^2+1}=\frac{1}{a^2+b^2+2a+2}\leq \frac{1}{2ab+2a+2}=\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)(1)\)
Từ $abc=1$ ta suy ra :
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{bc.ac+b.ac+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{c+1+ac}+\frac{1}{ac+c+1}=\frac{c+ac+1}{c+ac+1}=1(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}\)
\(\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Cách làm tương tự câu a.
c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P
