![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\geq (1+1)^2$
$\Leftrightarrow B.3\geq 4$
$\Leftrightarrow B\geq \frac{4}{3}$
Vậy $B_{\min}=\frac{4}{3}$
Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{3}{2}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\frac{a^3}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(1+b\right)}{8\left(1+b\right)}}=\frac{3}{2}a\)
\(\frac{b^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{1+a}.\frac{1+a}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}b\)
Cộng các vế tương ứng lại ta được :
\(\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}+\frac{1}{4}\left(a+b\right)+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{ab}-\frac{3}{2}=1\)
Do đó \(P\ge1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\left[\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)
\(\ge\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}+1\right)\)
\(\ge\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}\right)^6}\right]\)
\(=\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ab}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4bc}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ca}\right)^2}\right]\)
\(=343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left(abc\right)^2}\right)^2}\ge343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^2}\right)^2}=343\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
P/s: Em chưa check lại đâu nha::D
Khúc cuối bài ban nãy là \(\ge343\) nha! Em đánh nhầm
Cách khác (em thử dùng Holder, mới học nên em không chắc lắm):
\(P\ge\left(3+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3=\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]}}\right)^3\ge343\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge16+4=20\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)
\(=ac+bc+c^2+ab\)
\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)
\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)
CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy /...
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Shwarz ta có :
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{3}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\frac{3}{2}\)
Cauchy Schwarz nhé