Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đẳng thức đã cho tương đương với
\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)
Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh
Ta có: \(a=b+c\Rightarrow c=a-b\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^4+a^2b^2-2ab^3+a^4+a^2b^2-2a^3b+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2-ab\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{abc}\right|\)
=> Là một số hữu tỉ do a,b,c là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow ab+1=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{ab+1}=a+b\in Q\left(Q.E.D\right)\)
Ta có \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)
Do a>0
=> \(a^3+b^3=2a^2b^2\)
<=> \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)
Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{a^2}=y\)(x,y là số hữu tỉ)
=>\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x.y=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=2-y\\xy=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{1-y\left(2-y\right)}=\sqrt{y^2-2y+1}=|y-1|\)là số hữu tỉ
=> ĐPCM
Vậy \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ
\(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+1\right)}{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)=ab\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2abc+a^2+b^2+ab=abc^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2ba\right)=ab\left(c^2-2c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=ab\left(c-1\right)^2\)
\(\Rightarrow ab>0\) , ab là bình phương của số hữu tỉ
\(\Rightarrow c-1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow c+1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+2=\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^2\)
Khi đó : \(\frac{c-3}{c+1}=1-\frac{4}{c+1}=1-\frac{4\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}\)
Mà \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a-b}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}\) là số hữu tỉ do ab là bình phương của số hữu tỉ
\(\Rightarrow\frac{c-3}{c+1}\) là bình phương của số hữu tỉ ( đpcm )
\(x^3-y^3=2xy\)
\(\Leftrightarrow x^4-xy^3-2x^2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2-y^2-xy^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2=y^2\left(1+xy\right)\)
\(\Leftrightarrow1+xy=\left(\frac{x^2-y}{y}\right)^2\)
Ta có đpcm.
thay 1 bởi \(ab+bc+ca\)
Ta có : \(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)
Ta thấy : \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
\(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)Là một số hữu tỉ vì\(a;b;c\)là các số hữu tỉ
Bạn vào trang này nha ( https://olm.vn/hoi-dap/question/898864.html ). Mình giải rồi đấy. Nhớ k mình nha
\(x^3+y^3=2x^2y^2\)
<=> \(\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)
<=> \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4-4x^3y^3\)
<=> \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)
<=> \(1-\frac{1}{xy}=\frac{\left(x^3-y^3\right)^2}{4x^4y^4}\)
<=> \(\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{\left|x^3-y^3\right|}{2x^2y^2}\) là số hữu tỉ