![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo BĐT Cô - Si , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow a+b+b+c+c+a\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta có: với a, b, c là các số thực không âm:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) Dấu'=' xảy ra khi a=b
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\) Dấu '=' xảy ra khi b=c
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)Dấu '=' xảy ra khi a=c
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}.\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đăt\(\sqrt{a}\)=x, \(\sqrt{b}\)=y (x,y>0)
=>xy+1=4y => 4y≥ \(2\sqrt{xy}\)=>\(2\sqrt{y}\)≥\(\sqrt{x}\)=> 4y≥x=> 4≥ \(\dfrac{x}{y}\)=> \(\dfrac{1}{4}\)≤\(\dfrac{y}{x}\)=>\(\dfrac{-1}{4}\)≥\(\dfrac{-y}{x}\)
Xét:A=(\(\dfrac{xy+y}{x+y}\)+\(\dfrac{xy+x}{y-x}\)+1):(\(\dfrac{xy+y}{x+y}\)+\(\dfrac{xy+x}{x-y}\)-1)
= \(\dfrac{-2y^2\left(x+1\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\).\(\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{2xy\left(x+1\right)}\)
=> A= \(\dfrac{-y}{x}\)≤\(\dfrac{-1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> xy=1 và x=4y <=> x=2, y=\(\dfrac{1}{2}\) <=> a =4, b=\(\dfrac{1}{4}\)
Vậy Max A =\(\dfrac{-1}{4}\) <=> a=4, b=\(\dfrac{1}{4}\)
viết lại đề nhé chứng minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
Áp dụng bđt cô si, ta có \(\sqrt{b-1}\le\frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)
tương tự, có \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)
+ 2 vế , ta có \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\) (ĐPCM)
dấu = xảy ra <=>a=b=2
^_^