![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Đặt P = (a-1)/a +(b-1)/b+(c-4)/c
Dễ thấy P = 3 - (1/a + 1/b + 4/c)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki :
(1/a + 1/b + 4/c)(a + b + c) <= [căn(1/a).căn a + căn(1/b).căn b + căn(4/c).căn c]^2 = (1 + 1 + 2)^2 = 16
=> 1/a + 1/b + 4/c <= 16/6 = 8/3
Suy ra : P >= 3 - 8/3 = 1/3
Min P = 3 <=> a = b = 3/2 và c = 3
2) Đặt P = (a+1)/[√(a⁴+a+1) -a²] = {(a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]} / (a^4 + a + 1 - a^2) = (a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]/(a + 1) = √(a⁴+a+1) + a² (nhân liên hợp)
Ta có : 4a^2 + a√2 -√2 = 0
=> a^2 = (√2 - a√2)/4 = (1 - a)/(2√2)
=> a^4 = (1 - 2a + a^2)/8
Do đó P = √[(1 - 2a + a^2)/8 + a + 1] + (1 - a)/(2√2) = √[(a^2 + 6a + 9)/8] + (1 - a)/(2√2) = (a + 3)/(2√2) + (1 - a)/(2√2) = √2 (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13\)có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}\)
A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}A=aa−1+bb−1+cc−4=1−a1+1−b1+1−c4
=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13=3−(a1+b1+c4)≤3−a+b+c(1+1+2)2=3−16=−13có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}⇔a=b=41;c=21
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : a^2+b^2 +c^2 >= ab+bc+ac ==> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ac) => (ab+bc+ac)<= ((a+b+c)^2)/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Áp dụng : được Max B = 3 khi a=b=c=1
HT
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(F^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+a+c+b+c\right)=6\left(a+b+c\right)=6\)
=> F max = \(\sqrt{6}\) <=> a=b=c =1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có
( 1*√(a + b) + 1*√(b + c) + 1*√(c + a) )^2 ≥ 2.3=6
vậy GTNN của S = √(a + b) + √(b + c) + √(c + a) ≥ √6
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = 1/3