Question

[Qynh Nqa]

Bài 1: Cho a,b,c∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

b) \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ; với a,b ≥ 0

c) a⁴+b⁴ ≥ a³b + ab³

d) a⁴+3 ≥ 4a

e) a³+b³+c³ ≥ 3abc ; với a,b,c > 0

f) \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) ; với a,b ≠ 0

g) \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) ; với ab ≥ 1

h) (a⁵+b⁵)(a+b) ≥ (a⁴+b⁴)(a²+b²) ; với ab > 0

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

a/CM: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)

CM: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) ( luôn đúng)

b/CM: \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3a^2b+3ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)

c/CM: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\) ( luôn đúng)

d/Ta xét hiệu: \(a^4-4a+3\)

\(=a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\)

\(=\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)

Suy ra BĐT luôn đúng

e/Ta xét hiệu:( Làm nhanh)

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)

f/Ta có: \(\frac{a^6}{b^2}-a^4+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^6}{a^2}-b^4+\frac{a^2b^2}{4}\)

\(=\left(\frac{a^3}{b}-\frac{ab}{2}\right)^2+\left(\frac{b^3}{a}-\frac{ab}{2}\right)^2\ge0\)(1)

Mà \(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\ge0\)(2)

Lấy (1) trừ (2) được: \(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4\ge0\RightarrowĐPCM\)

g/Làm rồi..xem lại trong trang cá nhân

h/Xét hiệu có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)-\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(=a^5b+ab^5-a^2b^4-a^4b^2\)

\(=a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall ab>0\)

Suy ra ĐPCM